《高等数学》课程电子教案：第十二章（12.3）齐次方程

章节题目 第三节齐次方程 齐次方程 内齐次方程的解法令u=2 容提要 齐次方程形式的判别及其解法 重点分析 利用变量代换将齐次方程转化为可分离变量方程并求解 难点分析 1(单)、3 题布置 备注

1 章 节 题 目 第三节 齐次方程 内 容 提 要 齐次方程： ( ) dy y f dx x = 齐次方程的解法 . x y 令 u = 重 点 分 析 齐次方程形式的判别及其解法 难 点 分 析 利用变量代换将齐次方程转化为可分离变量方程并求解 习 题 布 置 P341 1（单）、3 备 注

教学内容 齐次方程 1.定义形如2=f()的微分方程称为齐次方程 2解法作变量代换u=2,即y=xn dy d =+x du 代入原式u+x=,=f(u) (a)-l 可分离变量的方程 当/()-m≠O时,得∫ f(u)- InCr x=Ceo(u), (o(u)= (l)-l 将u=代入,得通解r=Ce 当彐n,使∫(u0)-4=0,则u=u4是新方程的解 代回原方程,得齐次方程的解y=l4x 例1求解微分方程(x-ycos)dkx+ x cos=dy=0 解令n=y,则d=xdh+dhe (x-ux cos u )d+xcosu(udx +xdu)=0 cos udu sinu=-Inx+C 微分方程的解为sn2=-hx+C dx 例2求解微分方程 解 dy 2y dx x"-xy+ y 1 y+y 2

2 教 学 内 容 一、齐次方程 1. 定义 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 , x y u = 即 y = xu, , dx du u x dx dy  = + 代入原式 f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 当 f (u)−u  0时, ln , ( ) 1 C x f u u du = − 得  , (u) x Ce 即 =  − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce  得通解 = , 当u0 ( ) 0, 使 f u0 −u0 = , 则u = u0是新方程的解 代回原方程, . 0 得齐次方程的解 y = u x 例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 解 令 ， x y u = 则dy = xdu+udx， (x −ux cosu)dx + x cosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sin u = −ln x +C, 微分方程的解为 sin ln x C. x y = − + 例 2 求解微分方程 . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 解 2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2       − +  −      = x y x y x y x y

令u=2,则b=xd+atr, 2 l4+x= u+u 2u-2 u u-2 u In(u-1)-=In(u-2)--In u=In x+In C, √l(x-2)3 微分方程的解为(y-x)2=Cy(y-2x)3 例3抛物线的光学性质 实例:车灯的反射镜面--旋转抛物面 解如图,设旋转轴αx轴光源在(00),L:y=y(x) 设M(x,y)为上任一点,M为切线斜率为y MN为法线,斜率为 ∠OMN=∠NMR,…∴tan∠OMN=tan∠NMR, 1 y tan∠OMV=yx 由夹角正切公式得 an∠MAR=1

3 , x y 令u = 则dy = xdu+udx, , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − +  = ] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 [ x dx du u u u u = − + − − − − ln ln ln , 2 1 ln( 2) 2 3 ln( u −1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x 例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图， 设旋转轴ox轴光源在(0,0), L : y = y(x) 设M(x, y)为上任一点，MT为切线, 斜率为y  , , 1 , y MN  为法线 斜率为− OMN = NMR, tan OMN = tan NMR, 由夹角正切公式得            =  − −  −  = y NMR xy y x y y OMN 1 tan 1 1 tan x y o M T N R L

得微分方程y2+2xy-y=0,即y=--±,(-)2+1 dhu-1±√1+u2 令u=-,得u+8 分离变量 (1+u2)±√1+l 令1+2=1,1=- 积分得h±1-=1 即V2+1C 平方化简得u2 C 2C 代回n=2,得y2=2C(x+C)抛物线 所求旋转轴为ax轴的旋转抛物面方程为y2+2=2C(x+) 二、小结 齐次方程中=如(2) d 齐次方程的解法令u 思考题 方程〔py0+V+y0)=x0()是否为齐次方程? 思考题解谷 方程两边同时对x求导 原方程是齐次方程

4 得微分方程 2 0, 2 yy  + xy − y = ( ) 1. 2  = −  + y x y x 即 y 令 ， x y u = , 1 1 2 u u dx du u x −  + 得 + = 分离变量 , (1 ) 1 2 2 x dx u u udu = − +  + 令1+u 2 = t 2 ， , ( 1) x dx t t tdt = −  积分得 ln 1 ln , x C t  = 1 1, 2 + =  x C 即 u 平方化简得 , 2 2 2 2 x C x C u = + 代回 , 得 x y u = ) 2 2 ( 2 C y = C x + 抛物线 所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为 ). 2 2 ( 2 2 C y + z = C x + 二、小结 齐次方程 ( ). x y dx dy =  齐次方程的解法 . x y 令 u = 思考题 方程 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 y t t y t dt xy x x + + =  是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对 x 求导: 2 , 2 2 y + x + y = y + xy  , 2 2 xy  = x + y + y 1 , 2 x y x y y  +       = + 原方程是齐次方程