《高等数学》课程电子教案：第二章 导数与微分（2.4）初等函数求导问题、双曲函数与反双曲函数的导数

节第四节初等函数的求导问题、双曲函数与反双 题目 曲函数的导数 常数和基本初等函数的导数公式 函数的和、差、积、商的求导法则 内|复合函数的求导法则 容/双曲函数与反双曲函数的导数 提 要 求初等函数的导数(按常数和基本初等函数的求导公式) 重点分析 利用求导公式求复合函数的导数 难点分析 题布置 备注

1 章 节 题 目 第四节 初等函数的求导问题、双曲函数与反双 曲函数的导数 内 容 提 要 常数和基本初等函数的导数公式 函数的和、差、积、商的求导法则 复合函数的求导法则 双曲函数与反双曲函数的导数 重 点 分 析 求初等函数的导数（按常数和基本初等函数的求导公式） 难 点 分 析 利用求导公式求复合函数的导数 习 题 布 置 P121：3（单） 备 注

教学内容 初等函数的求导问题 1常数和基本初等函数的导数公式 (sin x)=cosx (cos x)=-sin x (tan x)=sec x (cotx)’=-csc2x ( sec x)=sec x tan x (csc x)=-cSc x cot x (a)'=a In a (e)=e2 (log, x)= xin a arcsin x)'=I arccos)= (arctan x) (arc cot J 2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=(x,y=(x)可导,则 (1)(±v)=l±v,(2)(ca)=cc是常数 (3)(n)=uv+l(4)() u v-unv 3复合函数的求导法则 设y=f()而u=p(x)则复合函数y=[0(x)的导数为 中=.如或y(x)=r(u),9(x 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决 注意初等函数的导数仍为初等函数 例1求函数y=x+√x+√x的导数 (x+x+√x) 2x+vx (x+√x)) ) Vx+Vx+√x 2√x+√x

2 教 学 内 容 一、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 x x x x x x x C (sec ) sec tan (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 2  =  =  =  = x x x x x x x x x (csc ) csc cot (cot ) csc (cos ) sin ( ) 2 1  = −  = −  = −  =  −  x a x a a a a x x ln 1 (log ) ( ) ln  =  = x x e e x x 1 (ln ) ( )  =  = 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) x x x x +  = −  = 2 2 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) x arc x x x +  = − −  = − 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u=u(x), v=(x) 可导，则 ' ' ' (1)(u  v) = u  v , (2) ' ' (cu) = cu c 是常数 (3) ' ' ' (uv) = u v + uv (4) ( ) 0 2 ' ' '  − = v v u v uv v u 3.复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) [ ( )] y x f u x dx du du dy dx dy y f u u x y f x    =   =    = = = 或 设 而 则复合函数 的导数为 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数. 例 1 求函数 y = x + x + x 的导数. 解： ( ) 2 1 + +  + +  = x x x x x x y ( ) ) 2 1 (1 2 1 +  + + + + = x x x x x x x )) 2 1 (1 2 1 (1 2 1 x x x x x x + + + + + =

4√x2+x√x+2√x+1 8x+yx+√xyx2+x√x 例2求函数y=f"[p(snx")的导数 解:y=nf"[o"(snx")·∫lo"(sinx") np(snx"),o'(snx")·cosx"·nxn1 n.xcosx"f[(sin x")] p-(sn x").fIo"(sin x")]. o(sin x") 、双曲函数与反双曲函数的导数 (sinh x)=cosh x,(cosh x)=sinh x tanh x sinh x cosh2x-sinh 2 ( tanh x) 即:( (tanh x)= arsinh x=l(x+1+x2)∴( arsinh x)’= x+√1+x (1 +√1+x2 1+x 同理( arcosh x) (artanh x)=I 例3求函数y= arctan( tanha)的导数 (tanh x) 1+ tanh-x 1+tanh 2x cosh'x 1- Sinh-x coSh2S cosh2x 1+2 sinh

3 . 8 4 2 1 2 2 x x x x x x x x x x + +  + + + + = 例 2 求函数 [ (sin )]的导数. n n n y = f  x 解： [ (sin )] [ (sin )] n 1 n n n n y  = nf  x  f   x − (sin ) (sin ) n 1 n n n x  x − 1 cos −   n n x nx (sin ) [ (sin )] (sin ). cos [ (sin )] 1 3 1 1 n n n n n n n n n n x f x x n x x f x         =    − − − 二、双曲函数与反双曲函数的导数 (sinh x) = cosh x , (cosh x) = sinh x x x x cosh sinh tanh = x x x x 2 2 2 cosh cosh sinh (tanh ) −   = 即: x x 2 cosh 1 (tanh ) = sinh ln( 1 ) 2 ar x = x + + x 2 2 1 ( 1 ) ( sinh ) x x x x ar x + + + +    = ) 1 (1 1 1 2 2 x x x x + + + + = 2 1 1 + x = 同理 (ar cosh x) 1 1 2 − = x (ar tanh x) 2 1 1 − x = 例 3 求函数 y = arctan(tanh x)的导数. 解: (tanh ) 1 tanh 1 2   +  = x x y x x 2 2 cosh 1 1 tanh 1  + = x x x 2 2 2 cosh 1 cosh sinh 1 1  + = x x x 2 2 2 cosh 1 cosh sinh 1 1  + = . 1 2sinh 1 2 + x =

三、小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求 关键:正确分解初等函数的复合结构 思考题 幂函数在其定义域内( (1)必可导:(2)必不可导;(3)不一定可导 思考题解答 正确地选择是(3) 例,f(x) 在x=0处不可导,所以1错 f(x)=x2x∈(-∞,+∞) 在定义域内处处可导,所以2错

4 三、小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求 出. 关键: 正确分解初等函数的复合结构. 思考题 幂函数在其定义域内（ ）. （1） 必可导； （2）必不可导； （3）不一定可导； 思考题解答 正确地选择是（3） 例， 3 2 f (x) = x x(−,+) 在 x = 0 处不可导，所以 1 错 2 f (x) = x x(−,+) 在定义域内处处可导，所以 2 错