《高等数学》课程电子教案：第四章（4.1）不定积分的概念与性质

章节题目 第一节不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表(1) 内/求微分与求积分的互逆关系 容/个定积分的性质 提 要 不定积分的概念 利用基本积分表求不定积分 重点分析 利用基本积分表求不定积分 难点分析 习p,:1(单)、4 题布置 备注

1 章 节 题 目 第一节 不定积分的概念与性质 内 容 提 要 原函数与不定积分的概念 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质 重 点 分 析 不定积分的概念 利用基本积分表求不定积分 难 点 分 析 利用基本积分表求不定积分 习 题 布 置 P236：1（单）、4 备 注

教学内容 原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间/内,可导函数F(x)的导函数为f(x),即x∈I,都有 F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)或∫(x)ax在区间 内原函数. 例:(imx)=cosx,six是cosx的原函数 (nx)=-(x>0),hx是在区间(,+∞)内的原函数 原函数存在定理:如果函数f(x)在区间I内连续,那么在区间/内存在可导函数 F(x),使Ⅵx∈I,都有F(x)=f(x) 简言之:连续函数一定有原函数 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么联系? 例(six)=cosx,(sinx+C)=cosx(C为任意常数) 关于原函数的说明: (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数 (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证::[F(x)-G(x)=F'(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 不定积分的定义: 在区间I内,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间内的不定 积分,记为f(x)b ∫/(x)kF(x)+C 积 任 函表

2 教 学 内 容 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间 I 内，可导函数 F(x) 的导函数为 f (x) ，即 xI ，都有 F(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ，那么函数 F(x) 就称为 f (x) 或 f (x)dx 在区间 I 内原函数. 例： (sin x) = cos x  ，sin x 是 cos x 的原函数. ( ) ( 0) 1 ln =   x x x ， ln x 是 x 1 在区间 (0,+) 内的原函数. 原函数存在定理：如果函数 f (x) 在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 F(x) ，使 xI ，都有 F(x) = f (x) . 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例 (sin x) = cos x  ，(sin x C) = cos x  + （C 为任意常数） 关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C， F(x) + C 都是 f (x) 的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数，则 F(x) −G(x) = C （C 为任意常数） 证： F(x) G(x) = F(x) −G(x)   − = f (x) − f (x) = 0  F(x) −G(x) = C （C 为任意常数） 不定积分的定义： 在区间 I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项的原函数称为 f (x) 在区间 I 内的不定 积分，记为  f (x)dx . 任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数  f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量

例1求[x5 解 例2求 解 arctan x)= 1+x2=arctan x+C 例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 解:设曲线方程为y=f(x),根据题意知 x 即∫(x)是2x的一个原函数∫2x=x2+C,f(x)=x2+C 由曲线通过点(1,2)→C=1,所求曲线方程为y=x2+1 函数f(x)的原函数的图形称为∫(x)的积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义,可知 /(x)=(x/(x)=/(x)k (x)dx= F(x)+C,dF(x)=F(x)+C 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 基本积分表 实例 =x"→「xdr 4+1+C (≠-1) 基本积分表 ()JA=kx+C(k是常数 (2)jrk=+C(≠ dx (3) Inx+c 说明:x>0,→ =Inx+c

3 例 1 求 . 5 x dx  解： , 6 5 6 x x =           . 6 6 5 C x  x dx = +  例 2 求 . 1 1  2 + dx x 解： ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =   arctan . 1 1  2 = + +  dx x C x 例 3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍， 求此曲线方程. 解：设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x) 是 2x 的一个原函数. 2 , 2   xdx = x +C ( ) , 2  f x = x +C 由曲线通过点（1，2）  C =1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x + 函数 f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知  f (x)dx f (x), dx d =  d[ f (x)dx] = f (x)dx,  ( ) ( ) ,  F x dx = F x +C ( ) ( ) .  dF x = F x +C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 二、 基本积分表 实例    x x =          + + 1 1 . 1 1 C x x dx + +  = +     (  −1) 基本积分表  (1) kdx = kx+C (k 是常数); ( 1); 1 (2) 1 +  − + = +      C x x dx (3) ln ;  = x +C x dx 说明： x  0,  ln ,  = x +C x dx

x<0,(-x)=(-xy=,=∫=h(-x)+C dx ∫=h|x1+C,简写为∫ dx x+ (4) idx= arctan x+C: -dx= arcsin x+C (6)cos xdx= sin x+C sin x (8) sec2 xdx= tanx+C COS x x+C. (10) sec x tan xdx= secx+C (11)csc x cot xdx=-cScx+C: (13)aax= In a (15)cosh xdx= sinh x+C; 例4求积分「x2√xdk 解:「x2√xax=x2ax根据积分公式(2)xdrx X-+ 、不定积分的性质 (1)|[f(x)±g(x)dx=|f(x)dx±g(x)dx

4 x  0, [ln( −x)] = , 1 ( ) 1 x x x −  = − ln( ) ,   = −x +C x dx ln | | ,   = x +C x dx 简写为 ln .  = x +C x dx = +  dx x 2 1 1 (4) arctan x +C; = −  dx x 2 1 1 (5) arcsin x +C;  (6) cos xdx = sin x +C;  (7) sin xdx = − cos x +C; =  x dx 2 cos (8)  xdx = 2 sec tan x +C; =  x dx 2 sin (9)  xdx = 2 csc − cot x +C;  (10) sec x tan xdx = sec x +C;  (11) csc x cot xdx = − csc x +C; =  e dx x (12) e C; x + =  a dx x (13) ; ln C a a x +  (14) sinh xdx = cosh x +C;  (15) cosh xdx = sinh x +C; 例 4 求积分 . 2 x xdx  解： x xdx  2 x dx  = 2 5 根据积分公式（2） C x x dx + + = +  1 1    C x + + = + 1 2 5 1 2 5 . 7 2 2 7 = x +C 三、 不定积分的性质  (1) [ f (x)  g(x)]dx = ( ) ( ) ;   f x dx  g x dx

证 f(x)dx±g(x)d=f(x)xg(x)x=f(x)±g(x) 等式成立 (此性质可推广到有限多个函数之和的情况 (2)∫0(x)dk=f(x)(k是常数,k≠0) 例5求积分j( 1+x d 1+x =arctan x-2 arcsinx+C 例6求积分 1+x+x2 解 dx=[x+(+x)dx x(1+x) 1+x 1+2dx+-dx =arctan x+Inx+C 例7求积分/-+2x2 1+2x 解: -dx 2(1+ +arctan+C x 例8求积分 1+cos 2x 解: d x d x d x 1+cos 2x 1+2cos2x-1 2J x -tanx+c 说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表 例9已知一曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线斜率为sec2x+sinx,且此曲 线与y轴的交点为(0,5),求此曲线的方程 解 sec x+sin x y=f(sec2x+sin x) dx =tan x-cosx+C

5 证：        f (x)dx g(x)dx        =   f (x)dx g(x)dx = f (x)  g(x).  等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）  (2) kf (x)dx = ( ) .  k f x dx （ k 是常数， k  0) 例 5 求积分 ) . 1 2 1 3 ( 2 2 dx x x  − − + 解： dx x x ) 1 2 1 3 ( 2  2 − − + dx x dx x   − − + = 2 2 1 1 2 1 1 3 = 3arctan x −2arcsin x +C 例 6 求积分 . (1 ) 1 2 2 dx x x x x  + + + 解： dx x x x x  + + + (1 ) 1 2 2 dx x x x x  + + + = (1 ) (1 ) 2 2 dx x x        + + = 1 1 1 2 dx x dx x   + + = 1 1 1 2 = arctan x+ln x+C. 例 7 求积分 . (1 ) 1 2 2 2 2 dx x x x  + + 解： dx x x x  + + (1 ) 1 2 2 2 2 dx x x x x  + + + = (1 ) 1 2 2 2 2 dx x dx x   + = + 2 2 1 1 1 arctan . 1 x C x = − + + 例 8 求积分 . 1 cos 2 1  + dx x 解：  + dx 1 cos 2x 1  + − = dx 1 2cos x 1 1 2  = dx x 2 cos 1 2 1 tan . 2 1 = x +C 说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 例 9 已知一曲线 y = f (x) 在点 (x, f (x)) 处的切线斜率为 sec x sin x 2 + ，且此曲 线与 y 轴的交点为 (0,5) ，求此曲线的方程. 解： sec sin , 2 x x dx dy  = + y ( x x)dx   = sec + sin 2 = tan x − cos x +C

y(0)=5,∴C=6, 所求曲线方程为y=tanx-cosx+6 四、小结 原函数的概念:F(x)=f(x) 不定积分的概念:∫/(x)=F(x)+C 基本积分表( 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质 思考题 x>0 符号函数f(x)=gnx={0,x=0在(-∞,+∞)内是否存在原函数?为什么? 思考题解答 不存在 假设有原函数F(x),F(x)={C,x=0 但F(x)在x=0处不可微,故假设错误 所以f(x)在(-∞,+∞)内不存在原函数 结论:每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数 6

6  y(0) = 5,  C = 6, 所求曲线方程为 y = tan x − cos x + 6. 四、 小结 原函数的概念： F(x) = f (x) 不定积分的概念：  f (x)dx = F(x) +C 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质 思考题 符号函数      −  =  = = 1, 0 0, 0 1, 0 ( ) sgn x x x f x x 在 (−, + ) 内是否存在原函数？为什么？ 思考题解答 不存在. 假设有原函数 F(x)，      − +  = +  = , 0 , 0 , 0 ( ) x C x C x x C x F x 但 F(x) 在 x = 0 处不可微，故假设错误 所以 f (x) 在 (−, + ) 内不存在原函数. 结论：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数