《高等数学》课程电子教案：第三章（3.6）最大值最小值问题

章节题 第六节最大值最小值问题 目 最值与极值的区别 最值的求法 内实际问题求最值的步骤 容提要 最值的求法 重点 分析 实际问题求最值 难点分析 习P:1(1)(3)、2(2)(4)(6)、4、6、7、8 题 布 置 备注

1 章 节 题 目 第六节 最大值最小值问题 内 容 提 要 最值与极值的区别 最值的求法 实际问题求最值的步骤 重 点 分 析 最值的求法 难 点 分 析 实际问题求最值 习 题 布 置 P200：1（1）（3）、2（2）（4）（6）、4、6、7、8 备 注

教学内容 最值的求法 若函数f(x)在[a,b]上连续,除个别点外处处可导,并且至多有 有限个导数为零的点,则∫(x)在[a,b上的最大值与最小值存在 步骤: 1求驻点和不可导点 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个 小那个就是最小值 注意:如果区间内只有一个极值则这个极值就是最值(最大值或最小值) 应用举例 例1求函数y=2x3+3x2-12x+14的在[-34]上的最大值与最小值 解:∵∫"(x)=6(x+2)(x-1) 解方程∫(x)=0,得x1=-2,x2=1 计算f(-3)=23,f(-2)=34,∫(1)=7,f(4)=142 2x3+3x2-12x+14 比较得,最大值∫(4)=142,最小值f(1)=7 例2:敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米分钟的速度向正北逃窜,同时我军摩 托车从河的南岸B处向正东追击,速度为2千米/分钟.问我军摩托车何时射击最 好(相距最近射击最好)? 解:(1)建立敌我相距函数关系

2 教 学 内 容 一、最值的求法 ( ) [ , ] . ( ) [ , ] 有限个导数为零的点，则 在 上的最大值与最小值存在 若函数 在 上连续，除个别点外处处可导，并且至多有 f x a b f x a b o x y a b o x y a b o x y a b 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个 小那个就是最小值; 注意: 如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 二、应用举例 例 1 2 3 12 14 [ 3,4] . 求函数 y  x 3  x 2  x  的在  上的最大值与最小值 解： f (x)  6(x  2)(x 1) 解方程 f (x)  0,得 2, 1. x1   x2  计算 f (3)  23， f (2)  34， f (1)  7， f (4)  142 2 3 12 14 3 2 y  x  x  x  比较得，最大值 f (4) 142，最小值 f (1)  7. 例 2：敌人乘汽车从河的北岸 A 处以 1 千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩 托车从河的南岸 B 处向正东追击，速度为 2 千米/分钟．问我军摩托车何时射击最 好（相距最近射击最好）？ 解：(1)建立敌我相距函数关系

设t为我军从B处发起追击至射击的时间(分) 敌我相距函数s(1):s(t)=√05+1)2+(4-2)2 s(t) 05公里 B 4公里 (2)求s=s(t)的最小值点 5t-75 令s()=0,得唯一驻点t=1.5 (05+1)2+(4-2n2 故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好 实际问题求最值应注意 (1)建立目标函数; (2)求最值 若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为 所求的最(或最小)值 例3:某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部 租出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月 需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入? 解:设房租为每月x元 租出去的房子有50 每月总收入为R(x)=(x-20)50-+-180 10 R(x)=(x-2068

3 设 t 为我军从B处发起追击至射击的时间(分). 敌我相距函数 s(t) ： 2 2 s(t)  (0.5  t)  (4  2t) 0.5公里 4公里 B   A s(t) (2) 求s  s(t)的最小值点. s(t)  . (0.5 ) (4 2 ) 5 7.5 2 2 t t t     令s(t)  0, 得唯一驻点t 1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5 分钟射击最好. 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 所求的最 或最小 值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为 ( ) 例 3：某房地产公司有 50 套公寓要出租，当租金定为每月 180 元时，公寓会全部 租出去．当租金每月增加 10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月 需花费 20 元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解：设房租为每月 x 元， 租出去的房子有         10 180 50 x 套， 每月总收入为 R(x)  (x  20)         10 180 50 x          10 ( ) ( 20) 68 x R x x

R(x) 68~x R(x)=0→x=350(唯一驻点) 故每月每套租金为350元时收入最高。 350 最大收入为R(x)=(350-2068 =10890(元) 例4 由直线y=0,x=8及抛物线y=x2围成一个曲边三角形 在曲边y=x2上求一点,使曲线在该点处的切线与直线 =0及x=8所围成的三角形面积最大 解:如图, B 设所求切点为P(x0,y)则切线P7为y-y=2x0(x-x1 y=x6,∴A(x,0),C(8,0),B(8,16x-x6) (8--x16x-x2) 令S'=(3x2-64x0+16×16)=0, 解得0-3x=16(舍去) 16.4096 为极大值. 217 故s(16,=4096 为所有三角形中面积的最大者 三、小结 注意最值与极值的区别 最值是整体概念而极值是局部概念

4                   10 1 ( 20) 10 ( ) 68 x x R x 5 70 x   R(x)  0  x  350（唯一驻点） 故每月每套租金为 350 元时收入最高。 最大收入为          10 350 R(x) (350 20) 68 10890 (元) 例 4 及 所围成的三角形面积最大． 在曲边 上求一点，使曲线在该点处的切线与直线 由直线 ， 及抛物线 围成一个曲边三角形， 0 8 0 8 2 2       y x y x y x y x 解：如图, T x y o P A B C ( , ), 0 0 设所求切点为P x y 则切线PT为 2 ( ), 0 0 0 y  y  x x  x , 2 0 0  y  x , 0), 2 1 ( 0  A x C(8, 0), (8, 16 ) 2 0 0 B x  x )(16 ) 2 1 (8 2 1 2 0 0 0 S x x x  ABC    (0 8)  x0  (3 64 16 16) 0, 4 1 0 2 令 S  x0  x    解得 , 16 ( ). 3 16 x0  x0  舍去 ) 8 3 16 s(    0. . 217 4096 ) 3 16 s(  为极大值 . 27 4096 ) 3 16 故 s(  为所有三角形中面积的最大者 三、小结 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念

实际问题求最值的步骤 思考题 若∫(a)是∫(x)在[an,b]上的最大值或最小值,且∫"(a)存在,是否一定有 f(a)=0? 思考题解答 结论不成立.因为最值点不一定是内点 例y=f(x)=xx∈[0,在x=0有最小值,但f(0)=1≠0

5 实际问题求最值的步骤. 思考题 若 f (a) 是 f (x) 在 [a,b] 上的最大值或最小值，且 f (a) 存在，是否一定有 f (a)  0？ 思考题解答 结论不成立. 因为最值点不一定是内点. 例 y  f (x)  x x[0,1]在 x  0 有最小值，但 f (0) 1  0