《高等数学》课程电子教案：第四章（4.5）积分表的使用

章节题目 第五节积分表的使用 利用积分表求不定积分 内容提要 求不定积分时根据被积函数的类型直接或经过简单变形后查表 重点分析 难点分析 P 题布置 备注

1 章 节 题 目 第五节 积分表的使用 内 容 提 要 利用积分表求不定积分 重 点 分 析 求不定积分时根据被积函数的类型直接或经过简单变形后查表 难 点 分 析 习 题 布 置 P272 ：单数 备 注

教学内容 关于积分表的说明 (1)常用积分公式汇集成的表称为积分表 (2)积分表是按照被积函数的类型来排列的 (3)求积分时,可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后,查得所需结果 (4)积分表见《高等数学》(四版)上册(同济大学数学教研室主编)第452页 二、例题 例1求 被积函数中含有ax+b 在积分表(一)中查得公式(7) hn ax+6+ (ax+b ar+6/*C 现在a=3,b=4,于是 a 4 d=hn|3x+4|+ 例2求 dx.被积函数中含有三角函数 5-4 coSx 在积分表(十一)中查得此类公式有两个 a=5.b=-4a2>b2选公式(105) =2 tan-+c a+b 2 将a=5,b=-4代入得 dx==arc cot 3 tan -+C 5-4 cosx 例3求 x√4x2+9 表中不能直接查出,需先进行变量代换 令2x=u→√4x2+9=Vu2+32 du x√4x2+9、a2+32n2+32 被积函数中含有m2+32,在积分表(六)中查得公式(37)

2 教 学 内 容 一、关于积分表的说明 （1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（四版）上册（同济大学数学教研室主编）第 452 页． 二、例题 例 1 求 . (3 4) 2 dx x x  + 被积函数中含有 ax +b 在积分表（一）中查得公式（7） ( ) C ax b b ax b a dx ax b x +      + = + + +  ln | | 1 2 2 现在 a = 3, b = 4，于是 ( ) . 3 4 4 ln | 3 4 | 9 1 3 4 2 C x dx x x x +      + = + + +  例 2 求 . 5 4cos 1 dx x  − 被积函数中含有三角函数 在积分表（十一）中查得此类公式有两个 2 2 a = 5, b = −4 a  b 选公式（105）  a + b x dx cos C x a b a b a b a b a b +         + − − + + = 2 cot tan 2 将 a = 5, b = −4 代入得 dx x  5 − 4cos 1 . 2 cot 3tan 3 2 C x arc  +      = 例 3 求 . 4 9  2 x x + dx 表中不能直接查出, 需先进行变量代换. 令 2x = u 2 2 2  4x +9 = u +3  4 + 9 2 x x dx  + = 2 2 3 2 2 1 u u du  + = 2 2 u u 3 du 被积函数中含有 3 , 2 2 u + 在积分表（六）中查得公式（37）

in In 2+323 C 将l=2x代入得 In-- x√4x2+933+√4x2+9 例4求|sn‘xa 在积分表(十一)中查得公式(95) x cosx n- sinian=一 sin"-xdx 利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使用可使正弦的幂次继续减少,直到 求出结果这个公式叫递推公式 现在n=4,于是 xdx sin x cosx 4+a sin xdx 对积分m2xdk使用公式(93) I xdx= sin 2x+C 24 ∫sm'x sin'xcosx 3(x 1 -Esin 2x+C 4(2 说明:初等函数在其定义域内原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数 例|eatr, sIn x dx dx

3  + 2 2 x x a dx C a x a x a + + + = 2 2 | | ln 1  +  2 2 u u 3 du C u u + + + = 2 2 3 3 | | ln 3 1 将 u = 2x 代入得  4 + 9 2 x x dx . 3 4 9 2 | | ln 3 1 2 C x x + + + = 例 4 求 sin . 4 xdx  在积分表（十一）中查得公式（95） xdx n  sin  − − − = − + xdx n n n x x n n 2 1 sin sin cos 1 利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到 求出结果. 这个公式叫递推公式. 现在 n = 4 ，于是 xdx  4 sin  = − + xdx x x 2 3 sin 4 3 4 sin cos 对积分  xdx 2 sin 使用公式（93）  xdx 2 sin x C x = − sin 2 + 4 1 2 xdx  4 sin 4 3 4 sin cos 3 = − + x x sin 2 . 4 1 2 x C x  +      − 说明: 初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数. 例 , 2  − e dx x  , sin dx x x . ln 1  dx x