《高等数学》课程电子教案：第七章（7.6）空间曲线及其方程

章节题目 第六节空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程、参数方程 内 ∫F(x,y,)=0 y=y() G(x,y,=)=0 容提要 二=(1) 空间曲线在坐标面上的投影 (x,y)=0JR(y,)=0jT(x,)=0 二=0 x=0 0 空间曲线方程的建立 给出方程确定曲线 重点分析 空间曲线的投影 难点分析 习题布置 1(3)、3、7、8 备注

1 章 节 题 目 第六节 空间曲线及其方程 内 容 提 要 空间曲线的一般方程、参数方程．    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z      = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 空间曲线在坐标面上的投影．    = = 0 ( , ) 0 z H x y    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z 重 点 分 析 空间曲线方程的建立 给出方程确定曲线 难 点 分 析 空间曲线的投影 习 题 布 置 P416：1（3）、3、7、8 备 注

教学内容 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 F(x,y,=)=0 IG(x, y, =)=0 空间曲线的一般方程 特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能 同时满足两个方程 例1方程」x2+y2=1 表示怎样的曲线? 2x+3y+3 5 解x2+y2=1表示圆柱面, 2x+3y+32=6表示平面 交线为椭圆 2x+3y+3z=6 例2方程组 表示怎样的曲线? 2

2 教 学 内 容 一、空间曲线的一般方程 空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线.    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能 同时满足两个方程. 例 1 方程组    + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 表示怎样的曲线？ 解 1 2 2 x + y = 表示圆柱面， 2x + 3y + 3z = 6 表示平面，    + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆. 例 2 方程组      − + = = − − 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 表示怎样的曲线？ x o z y S1 2 S C

解二=a2-x2-y2上半球面 (x-2)+y2=2圆柱面 交线如图 空间曲线的参数方程 x=x() y=y()空间曲线的参数方程 二=(D) 当给定t=1时,就得到曲线上的一个点(x,y1,=1),随着参数的变化可得到曲线 上的全部点 例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度O绕z轴旋转,同时又 以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中O、v都是常数),那么点M构成的 图形叫做螺旋线.试建立其参数方程. ot. 取时间t为参数,动点从A点出发,经过t时间,运动到M点

3 解 2 2 2 z = a − x − y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x − + = 圆柱面, 交线如图. 二、空间曲线的参数方程      = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 空间曲线的参数方程 当给定 1 t = t 时，就得到曲线上的一个点 ( , , ) 1 1 1 x y z ，随着参数的变化可得到曲线 上的全部点. 例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上以角速度  绕 z 轴旋转，同时又 以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中  、v 都是常数），那么点 M 构成的 图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 取时间 t 为参数，动点从 A 点出发，经过 t 时间，运动到 M 点 A • M M  t 解 x y z o

M在xoy面的投影M(x,y,0) x= acos ot c=vt (螺旋线的参数方程) 螺旋线的参数方程还可以写为 x=acos c=be 螺旋线的重要性质: 上升的高度与转过的角度成正比 即:日→日+a,z:b6→>b+ba, a=2丌,上升的高度h=2bz(螺距) 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程: F(x,y,=)=0 IG(x,y, =)=0 消去变量二后得:H(x,y)=0 曲线关于xoy的投影柱面 投影柱面的特征: 以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面 如图:投影曲线的研究过程

4 M 在 xoy 面的投影 M (x, y,0) x = acost y = a sin t z = vt (螺旋线的参数方程) 螺旋线的参数方程还可以写为      = = =    z b y a x a sin cos ( , )    v = t b = 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 即 : ,  0 →0 + : , z b0 →b0 +b  = 2 , 上升的高度 h = 2b (螺距) 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程：    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 消去变量 z 后得： H(x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 如图:投影曲线的研究过程

空间曲线 投影柱面 投影曲线 空间曲线在xy面上的投影曲线H(x,y)=0 类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 y0z面上的投影曲线,xOz面上的投影曲线 「R(y,=)=0 T(x,=)=0 =0 例4求曲线 在坐标面上的投影 解(1)消去变量:后得x+y=4 在x0y面上的投影为/x2+y2 z=0 (2)因为曲线在平面z=上,所以在xO面上的投影为线段 √3 y=0

5 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线    = = 0 ( , ) 0 z H x y 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 yoz 面上的投影曲线, xoz 面上的投影曲线,    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z 例 4 求曲线      = + + = 2 1 1 2 2 2 z x y z 在坐标面上的投影. 解（1）消去变量 z 后得 , 4 2 2 3 x + y = 在 xoy 面上的投影为 , 0 4 2 2 3      = + = z x y （2）因为曲线在平面 2 1 z = 上，所以在 xoz 面上的投影为线段. ; 2 3 , | | 0 2 1       = = x y z 空间曲线 投影柱面 投影曲线

(3)同理在yoz面上的投影也为线段 例5求抛物面y2+z2=x与平面x+2y-z=0的截线在三个坐标面上的投影 曲线方程 解截线方程为 y +==x x+2y-z=0 (1)消去得投影 x2+5y2+4xy-x=0 (2)消去z得投影 +z2+2y-z=0 (3)消去x得投影 0 补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影 曲

6 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. . 2 3 , | | 0 2 1       = = y x z 例 5 求抛物面 y + z = x 2 2 与平面 x + 2y − z = 0 的截线在三个坐标面上的投影 曲线方程. 解 截线方程为    + − = + = 2 0 2 2 x y z y z x （1）消去 z 得投影 , 0 5 4 0 2 2    = + + − = z x y xy x （2）消去 z 得投影 , 0 5 2 4 0 2 2    = + − − = y x z xz x （3）消去 x 得投影 . 0 2 0 2 2    = + + − = x y z y z 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空 间 立 体 曲 面

例 设一个立体由上半球面==4-x2-y2 和=Vx2+y)锥面所围成求它在xy 面上的投影 解半球面和锥面的交线为C 3(x2+y2) 消去z得投影柱面x2+y2=1, 则交线C在xoy面上的投影为 一个圆 0 所求立体在xoy面上的投影为x2+y2≤1 四、小结 空间曲线的一般方程、参数方程 F(x,y,=)=0 =y() G(x,y,z)=0 =(1) 空间曲线在坐标面上的投影 H(x,y)=0jR(y=)=0j7(x2)=0 2= x=0 y

7 例 6 . 3( ) , , 4 2 2 2 2 面上的投影 和 锥面所围成 求它在 设一个立体 由上半球面 z x y xoy z x y = + = − − 解 半球面和锥面的交线为     = + = − − 3( ), 4 , : 2 2 2 2 z x y z x y C 1, 2 2 消去 z 得投影柱面 x + y = 则交线C 在 xoy面上的投影为    = + = 0. 1, 2 2 z x y 一个圆,  所求立体在xoy面上的投影为 1. 2 2 x + y  四、小结 空间曲线的一般方程、参数方程．    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z      = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 空间曲线在坐标面上的投影．    = = 0 ( , ) 0 z H x y    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z

思考题 求椭圆抛物面2y2+x2=z与抛物柱面2-x2=z的交线关于xoy面的投影柱面 和在xoy面上的投影曲线方程 思考题解答 2y2+x2=z 交线方程为 消去z得投影柱面x2+y2=1, 在xoy面上的投影为 =0

8 思考题 求椭圆抛物面 y + x = z 2 2 2 与抛物柱面 − x = z 2 2 的交线关于 xoy 面的投影柱面 和在 xoy 面上的投影曲线方程. 思考题解答 交线方程为 , 2 2 2 2 2     − = + = x z y x z 消去 z 得投影柱面 1, 2 2 x + y = 在 xoy 面上的投影为 . 0 1 2 2    = + = z x y