《高等数学》课程电子教案：第三章 习题

高等数学第三章习题 填充下列各题 1 tan ax 2. im (a>0). 3. lim(2-cos 3x)i 4. lim tanx-x 5函数y=x3-3x2在 单减 6函数f(x)=12x+3x2-2x3的极小值是 7若f(x)在ab]上连续、在(ab)内可导,则f(x)在ab]上单调减小的充分(非必要) 条件是 8.若∫(x)在[ab上连续、在(ab)内二阶可导且 则 f(x)在ab]上的曲线是凹的 9.设∫(x)在极值点x=x0二阶可导,则在直角坐标系中y=f(x)所表示的曲线在 (x,f(x0)处的曲率等于 10设f(x)在点x=x0处具有不为零的三阶导数且 则点 (x,f(x0)必定是曲线y=f(x)的拐点 选择题: 1设y=(x-1)2(x-2)3,则() (A)x=1是该函数的极小值点 (B)X=2是该函数的极大值点 (C)x=是该函数的极小值点 (D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标 2设g(x)在(-∞,+∞)严格单调减,又f(x)在x=x0处有极大值,则必有() (A)g[f(x)]在x=x0处有极大值(B)gf(x)在x=xo处有极小值 (C)g[x]在x=x处有最小值(D)g[f(x)]在x=x既无极值也无最小值

高等数学第三章习题 一、 填充下列各题： 1. = − − → x x x x tan 3 3 lim 2 5 3 2 1 __________________. 2. = →+ a x x ln x lim _______________________(a>0). 3. ( − ) + = → ln(1 ) 1 0 3 2 lim 2 cos x x x ___________________. 4. = − − → x x x x x sin tan lim 0 __________________________. 5.函数 3 2 y = x − 3x 在_________________单减. 6.函数 2 3 f (x) =12x + 3x − 2x 的极小值是_________________. 7.若 f (x) 在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，则 f (x) 在[a,b]上单调减小的充分（非必要） 条件是__________________________________. 8. 若 f (x) 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且_______________________________，则 f (x) 在[a,b]上的曲线是凹的. 9.设 f (x) 在极值点 0 x = x 二阶可导，则在直角坐标系中 y = f (x) 所表示的曲线在 ( , ( )) 0 0 x f x 处的曲率等于____________________________________. 10.设 f (x) 在点 0 x = x 处具有不为零的三阶导数且________________________，则点 ( , ( )) 0 0 x f x 必定是曲线 y = f (x) 的拐点. 二、 选择题： 1.设 2 3 y = (x −1) (x − 2) ，则（ ） (A) x=1是该函数的极小值点 (B)x=2是该函数的极大值点 (C) 5 7 x = 是该函数的极小值点 (D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标 2.设g(x)在 (−,+) 严格单调减，又 f (x) 在 0 x = x 处有极大值，则必有（ ）： (A)g[f(x)]在 0 x = x 处有极大值 (B) g[f(x)]在 0 x = x 处有极小值 (C) g[f(x)]在 0 x = x 处有最小值 (D) g[f(x)]在 0 x = x 既无极值也无最小值

3设f(x)在x=x0处附近四阶连续可导且f(x0)=f"(x0)=f(x0)=0,f((x0) 为正,则有结论() A)y=∫(x)在x=x0有极大值(B)y=f(x)在x=x有极小值 (C)y=f(x)在x=x0有拐点)y=f(x)在x=x0无极值也无拐点 4设函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值-2,则必 (A)a=-4,b=1 (B)a=4,b=-7 (C)a=0,b=-3 (D)a=b=1 5.使不等式 arctan x+>x成立的最大范围是() (A)00,a>0) 4.证明当00 5.比较en与丌的大小 6.若f(x),g(x)在[,b]可导且g(x)≠0,试证存在∈(a,b)使 f(a)-f()f'(5) g(5)-g(b)g'(2) 四、设fx)可导,求证fx)的两个零点之间一定有f(x)+f(x)的零点 五、设对任意x、y(xy≠0)有fx)=f(x)+(y)且在x=1点处f()=a存在,试证当x≠0时, f'(x)=

3.设 f (x) 在 0 x = x 处附近四阶连续可导且 ( ) ( ) ( ) 0 /// 0 // 0 / f x = f x = f x =0, ( ) 0 (4) f x 为正，则有结论（ ） (A) y = f (x) 在 0 x = x 有极大值 (B) y = f (x) 在 0 x = x 有极小值 (C) y = f (x) 在 0 x = x 有拐点 (D) y = f (x) 在 0 x = x 无极值也无拐点 4.设函数 f x = x + ax + bx 3 2 ( ) 在x=1处有极小值-2，则必（ ） (A)a=-4,b=1 (B)a=4,b=-7 (C)a=0,b=-3 (D)a=b=1 5.使不等式 3 arctan 3 x x x +  成立的最大范围是（ ） (A) 0  x  + (B) 0  x  + (C) −1 x  0 (D) −   x  + 三、试解下列各题： 1. 设 2 3 f (x) = (x −1) (x +1) ，求 ( ) / f x . 2. 求证： arctan b − arctan a  b − a 3. 求极限 ( 0, 0) ln( ) lim 2   + + →+ b a m nx a be x x . 4. 证明当 0  x  2 时， 4 ln 2 4 0 2 x x − x − x +  . 5. 比较  e 与 e  的大小. 6. 若f(x),g(x)在[a,b]可导且 ( ) 0 / g x  ,试证存在  (a,b) 使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / /     g f g g b f a f = − − . 四、设 f(x)可导，求证 f(x)的两个零点之间一定有 ( ) ( ) / f x + f x 的零点. 五、设对任意 x、y (xy  0) 有 f(xy)=f(x)+f(y)且在 x=1 点处 f (1) = a / 存在，试证当 x  0 时， x a f (x) = /