《高等数学》课程电子教案：第九章（9.1）二重积分的概念与性质

章节题目 第一节二重积分的概念与性质 重积分的定义 重积分的几何意义、性质 内容提要 重积分的概念与性质 重点分析 对二重积分概念的理解 利用二重积分的性质解决有关问题 难点分析 34(单)5(单) 题布置 备注

1 章 节 题 目 第一节 二重积分的概念与性质 内 容 提 要 二重积分的定义 二重积分的几何意义、性质 重 点 分 析 二重积分的概念与性质 难 点 分 析 对二重积分概念的理解 利用二重积分的性质解决有关问题 习 题 布 置 P93 4（单）、5（单） 备 注

教学内容 问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积高 特点:平顶 柱体体积=? 特点:曲顶 曲顶柱体 =(x,y) 求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法 步骤如下: 先分割曲顶柱体的底,并取典型小区域, 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积 曲顶柱体的体积V=mn∑f(,)△ 2

2 教 学 内 容 一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 曲顶柱体 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法． 步骤如下： 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积， 曲顶柱体的体积 lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f     =   = → z = f (x, y) D

2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为 p(x,y),假定p(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块,取典型小块,将其近似看作均匀薄片,所有小块质量之 和 近似等于薄片总质量 M=lim∑p(2,n)△ →0 Aσ 二、二重积分的概念 定义设∫(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭 区域Δσ1,Δσ,,…,Δσn,其中Δσ,表示第i个小闭区域,也表示它的面积, 在每个△G上任取一点(5,),作乘积f(,n)△G1(i=1,2,…,m),并作和 f(5,)△ 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时,这和式的极限存在,则称此

3 ２．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 (x, y) 处的面密度为 (x, y) ，假定 (x, y) 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之 和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M  i    =   = → 二、二重积分的概念 定义 设 f (x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭 区域 1，  2 , ，  n ，其中  i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积， 在每个  i 上任取一点 ( , ) i i ，作乘积 ( , ) i i f    i (i =1,2,  ,n) ， 并作和 i i n i i  f    = ( , ) 1 ， 如果当各小闭区域的直径中的最大值  趋近于零时，这和式的极限存在，则称此  i • x y o x z y o D z = f (x, y)  i • ( , ) i i

极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分 记为』/(x,y,即/(x,y)=m2/(,) 对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是任意的 (2)当∫(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D y ■■■■■■ 则面积元素为d=ddy 故二重积分可写为f(xy)可xy)d 、二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1当k为常数时, 0(xy)da-小fxya 性质2‖[(x,y)±g(x,y)da f(x,y)d±小g(x,y)do 性质3对区域具有可加性(D=D+D2) f(x, yodo=lf(x,y)do+lf(x,y)do 性质4若σ为D的面积,σ=1·d=do 性质5若在D上f(x,y)≤g(x,y)

4 极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为  D f (x, y)d ，即  D f (x, y)d i i n i i f     =   = → lim ( , ) 1 0 . 对二重积分定义的说明： (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的. (2)当 f (x, y) 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D， 则面积元素为 d = dxdy 故二重积分可写为   = D D f (x, y)d f (x, y)dxdy 三、二重积分的性质 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 当 k 为常数时， ( , ) ( , ) .   = D D kf x y d k f x y d 性质２   D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) .   =  D D f x y d g x y d 性质３ 对区域具有可加性 ( ) D = D1 + D2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2    = + D D D f x y d f x y d f x y d 性质４ 若  为 D 的面积， 1 .   =  = D D  d d 性质５ 若在 D 上 f (x, y)  g(x, y), x y o D

则有』/(xy)dgxy)do 特殊地j/(xydj(xy) 性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面 积,则 mGS( x, y )do s Mo(二重积分估值不等式) 性质7设函数∫(x,y)在闭区域D上连续,a为D 的面积,则在D上至少存在一点(,n)使得 f(x,y)dσ=∫(m)·σ(二重积分中值定理) 例1不作计算,估计=』edo的值,其中D是椭圆闭区域: (0<b<a) 解区域D的面积=ab丌 在D上 0≤x2+y2≤a2 1=e<exy≤e 由性质6知σser)do≤a:e", b丌≤ d e 例2估计I= 的值,其中D:0≤x≤1,0≤y≤2 Vx2+y2+2xy+16 解∵f(x,y)= 区域面积σ=2 (x+y)2+16 在D上f(x,y)的最大值M f(x,y)的最小值m= (x=1,y=2) 故=≤I≤→04≤1≤05

5 则有 ( , ) ( , ) .    D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) .    D D f x y d f x y d 性质６ 设 M 、 m 分别是 f (x, y) 在闭区域 D 上的最大值和最小值，  为 D 的面 积，则    D m f (x, y)d M （二重积分估值不等式） 性质７ 设函数 f (x, y) 在闭区域 D 上连续，  为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ( ,) 使得  =     f (x, y)d f ( , ) D （二重积分中值定理） 例 1 不作计算，估计 I e d D x y  + = ( ) 2 2 的值，其中 D 是椭圆闭区域： 1 2 2 2 2 + = b y a x (0  b  a). 解 区域 D 的面积  = ab 在 D 上 2 2 2 0  x + y  a , 1 , 2 2 2 0 x y a  = e  e  e + 由性质 6 知 , 2 2 2 ( ) a D x y  e d  e  +    ab    + e d D ( x y ) 2 2 . 2 a abe 例 2 估计  + + + = D x y xy d I 2 16 2 2  的值，其中 D： 0  x 1, 0  y  2 . 解 , ( ) 16 1 ( , ) 2 + + = x y  f x y 区域面积  = 2, 在 D 上 f (x, y) 的最大值 ( 0) 4 1 M = x = y = f (x, y) 的最小值 5 1 3 4 1 2 2 = + m = (x =1, y = 2) 故 4 2 5 2  I  0.4  I  0.5

例3判断「1(x2+y2)drd的符号 解当rs(x+y≤1时,0[x(x+y) 因此』mx+y)d>j(x+y)d 四、小结 二重积分的定义(和式的极限) 二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积) 重积分的性质

6 例 3 判断   +  + 1 2 2 ln( ) r x y x y dxdy 的符号. 解 当 r  x + y 1 时, 0 ( ) 1, 2 2 2  x + y  x + y  故 ln( ) 0 2 2 x + y  ; 又当 x + y 1 时, ln( ) 0, 2 2 x + y  于是 ln( ) 0 1 2 2 +   r x + y  x y dxdy . 例 4 比较积分  + D ln( x y)d 与  + D x y d 2 [ln( )] 的大小, 其中 D 是三角形 闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0). 解 三角形斜边方程 x + y = 2 在 D 内有 1 x + y  2  e , 故 ln( x + y) 1, 于是   2 ln( x + y)  ln( x + y) , 因此 +   D ln( x y)d  + D x y d 2 [ln( )] . 四、小结 二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 o x y 1 1 2 D

思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处 思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值,且此值只与被积函数及积分区 域有关.不同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函 数,而二重积分的积分区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域上的二元函 数

7 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处. 思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区 域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函 数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函 数．