《高等数学》课程电子教案：第四章（4.3）分部积分法

章节题目 第三节分部积分法 两个函数乘积的求导法则:分部积分法 内容提要 合理选择,正确使用分部积分公式∫mn=m-jnt 重点分析 利用分部积分公式求不定积分时如何选择 接连几次应用分部积分公式时,u应选择为同类型函数 点分析 题布置 备注

1 章 节 题 目 第三节 分部积分法 内 容 提 要 两个函数乘积的求导法则：分部积分法 重 点 分 析 合理选择 u,v  ，正确使用分部积分公式 uv dx uv u vdx    = −  难 点 分 析 利用分部积分公式求不定积分时如何选择 u,v  接连几次应用分部积分公式时， u 应选择为同类型函数 习 题 布 置 P258 ：单数 备 注

教学内容 基本内容 问题:「xed=? 解决思路:利用两个函数乘积的求导法则 设函数=l(x)和y=(x)具有连续导数,则(n)=v+m, ∫nat=n-jnt udv= u- vdu (分部积分公式) x cos xdx 例1求积分 解(一)令Ⅱ=cox,xd=d2=hv,「 x cos xdx=cox+/ dh 显然,l,v’选择不当,积分更难进行 解(二)令u=x.COx=dsnx=h xcosxdx =xdsin x =xsin x-sin xdx = xsin x+cosx+C 例2求积分∫xedr jxek=xe2-2「xcdm=x,cd=h(再次使用分部积分法 =xe2-2(xe-e)+C. 总结:若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积就考虑设 幂函数为u,使其降幂一次假定幂指数是正整数) 例3求积分[ arctan xdx 解:令l= arctan x,xx=d=d x arctan xdx arctan x -d(arctan x) arctan x

2 教 学 内 容 一、基本内容 问题：  xe dx = ? x 解决思路：利用两个函数乘积的求导法则. 设函数 u = u(x) 和 v = v(x) 具有连续导数, 则 (uv) = u  v + uv  ,  uv (uv) −u  v,   = uv dx uv u vdx,    = −  udv uv vdu.   = − （分部积分公式） 例 1 求积分  x cos xdx 解（一）令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 ， x cos xdx  = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u, v  选择不当，积分更难进行. 解（二）令 u = x, cos xdx= d sin x = dv  x cos xdx  = xd sin x  = x sin x − sin xdx = xsin x + cos x +C. 例 2 求积分 . 2  x e dx x 解： , 2 u = x e dx de dv, x x = =  x e dx 2 x  = x e − xe dx x x 2 2 u = x, e dx dv x = （再次使用分部积分法） 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + 总结：若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设 幂函数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)。 例 3 求积分 arctan .  x xdx 解：令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2  x arctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x  = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = −  

arctanx-.( arctan x-(x-arctan x)+C 例4求积分 xIn xdx 解:=hnx,x3ax=d=dhv xIn xdx ==x4 In x+In x 总结:若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就考虑设 对数函数或反三角函数为u. 例5求积分 sin(n x)dh 解:「sin(hx)dx= xsin(In x)-「 xdsin(n x =xsin(n x)xcos(In x)dx in(n x)-xcos(n x)+xd[cos(In x) x[sin(In x)-cos(In x)]- sin(n x)ar I sin(h x)a sin(In x)-cos(n x)]+C 例6求积分」 e sin xdx AR: e sin xdx =sin xde =esin x-e d(sin x)=esin x-e'cosxdx e ' sin x-cos xde =e sin x-(e cos|e'd cos x) =c(smx-osx)- je"sin xdr(注意循环形式) e sin xax (sin x-cos x)+C. x arctan x 求积分! x artan dx=arctan xdvi+x2

3 dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = −  −  ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − + 例 4 求积分 ln . 3  x xdx 解： u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx = d =  x ln xdx 3  = x x − x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设 对数函数或反三角函数为 u. 例 5 求积分 sin(ln ) .  x dx 解：  sin(ln x)dx  = x sin(ln x) − x d[sin(ln x)]  = −  dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln )  = x sin(ln x) − x cos(ln x) + x d[cos(ln x)]  = x[sin(ln x) − cos(ln x)]− sin(ln x)dx  sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − + 例 6 求积分 sin .  e xdx x 解：  e xdx x sin  = x sin xde  = e sin x − e d(sin x) x x  = e x − e xdx x x sin cos  = − x x e sin x cos xde  = e sin x − (e cos x − e d cos x) x x x  = e x − x − e xdx x x (sin cos ) sin （注意循环形式）  e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 例 7 求积分  + . 1 arctan 2 dx x x x 解： ( ) , 1 1 2 2 x x x + =   +  +  dx x x x 2 1 arctan  = + 2 arctan xd 1 x

/1+x arctan x-Vi+xd(arctan x) +x arctan x =√1+x2 arctan x tx(令x=tant) 1+ tan-t In(sec t+tant)+C=In(x+V1+x2)+C x arctan x =√l+x2 arctan x-n(x+√1+x2)+C vI+x 例8已知∫(x)的一个原函数是e2,求∫xf(x 解:「xf(x)hx=「xd(x)=xf(x)-「f(x) (x))=(x.J/(xh=ec”+C 两边同时对x求导,得f(x)=-2xe, rf(x)dx= xf(x)-If(x)d 、小结 合理选择uv,正确使用分部积分公式[ax=n-|uhdx 思考题 在接连几次应用分部积分公式时,t应注意什么? 思考题解答 注意前后几次所选的应为同类型函数 例如: e cos xdx,第一次时若选l4=cosx ∫ e cosxdx=csx+esmx 第二次时仍应选l2=snx

4 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x  = + − + dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +   dx x x x  + = + − 2 2 1 1 1 arctan （令 x = tan t ） dx x  + 2 1 1  + = tdt t 2 2 sec 1 tan 1  = sec tdt = ln(sec t + tan t) +C = ln( x + 1+ x ) +C 2  +  dx x x x 2 1 arctan 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x +C 例 8 已知 f (x) 的一个原函数是 2 x e − , 求  xf (x)dx . 解：  xf (x)dx  = xdf (x) ( ) ( ) ,  = xf x − f x dx ( f (x)dx) = f (x),    ( ) , 2   = + − f x dx e C x 两边同时对 x 求导, 得 ( ) 2 , 2 x f x xe − = −   =  xf (x)dx  xf (x) − f (x)dx 2 2 2 x x e − = − . 2 e C x − + − 二、小结 合理选择 u,v  ，正确使用分部积分公式 uv dx uv u vdx    = −  思考题 在接连几次应用分部积分公式时， u 应注意什么？ 思考题解答 注意前后几次所选的 u 应为同类型函数. 例如：  e xdx x cos ，第一次时若选 u cos x 1 =  e xdx x cos e x e xdx x x  = cos + sin 第二次时仍应选 u sin x 2 =