《高等数学》课程电子教案：第十一章（11.7）正弦级数和余弦级数

章节题目 第八节正弦级数和余弦级数 奇函数和偶函数的傅里叶级数 函数展开成正弦级数或余弦级数 内容提要 函数展开成正弦级数或余弦级数 重点分析 如何将函数延拓为奇函数及偶函数并将其展开成正弦级数或余弦 级数 难点分析 题|Pm02、4、5 布 备注

1 章 节 题 目 第八节 正弦级数和余弦级数 内 容 提 要 奇函数和偶函数的傅里叶级数 函数展开成正弦级数或余弦级数 重 点 分 析 函数展开成正弦级数或余弦级数 难 点 分 析 如何将函数延拓为奇函数及偶函数并将其展开成正弦级数或余弦 级数 习 题 布 置 P309 2、4、5 备 注

教学内容 奇函数和偶函数的傅里叶级数 般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项但是,也有一些函数 的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 定理(1)当周期为2丌的奇函数∫(x)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为 a.=0 (n=0,1,2,…) f(x)sin ndx (n=1, 2, (2)当周期为2丌的偶函数f(x)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为 an=-If(r)cosnxdx (n=0, 1, 2, b=0 证明(l)设f(x)是奇函数 a=(xomk=0(m=0123… b,=Lf(x)sin nxdx==/(x)sin nxdx(n=1, 2, 3,") 同理可证(2)定理证毕 定义如果f(x)为奇函数傅氏级数∑ b sin nx称为正弦级数 如果f(x)为偶函数,傅氏级数当+∑ a cosnx称为余弦级数 例1设f(x)是周期为2的周期函数,它在[-x,x)上的表达式为f(x)=x,将 f(x)展开成傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点x=(2k+1)m(k=0,±1,+2,…)处不连续 收敛于 f(x-0)+f(-n+0)丌+(-) 在连续点x(x≠(2k+1)x)处收敛于f(x), x≠(2k+1)n时f(x)是以2x为周期的奇函数 2

2 教 学 内 容 一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数 的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 定理 (1)当周期为 2 的奇函数 f (x) 展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为 ( )sin ( 1,2, ) 2 0 ( 0,1,2, ) 0   = = = =  b f x nxdx n a n n n   (2)当周期为 2 的偶函数 f (x) 展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为 0 ( 1,2, ) ( )cos ( 0,1,2, ) 2 0   = = = =  b n a f x nxdx n n n   证明 (1)设f (x)是奇函数, − =    a f x nxdx n ( ) cos 1 = 0 (n = 0,1,2,3, ) − =    b f x nxdx n ( )sin 1  =   0 ( )sin 2 f x nxdx (n =1,2,3, ) 同理可证(2) 定理证毕. 定义 如果 f (x) 为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1   = 称为正弦级数. 如果 f (x) 为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0   = + 称为余弦级数. 例 1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数,它在 [− , ) 上的表达式为 f (x) = x ,将 f (x) 展开成傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2  + (− ) = = 0, 在连续点x(x  (2k +1))处收敛于f (x), x  (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数

和函数图象: an=0,(n=0,1,2,…) b.=2()=2 L xsin ndr=2- x cos nx sin nx CoS nI=-(-1)",(n=1,2,…) f(x)=2(sin x--sin 2x+sin 3x-.) =2(=1 Snnx.(-∞<x<+∞;x≠土丌,+3r,…) y=2(sin x--sin 2x+sin 3x--sin 4x+=sin 5x) 观察两函数图形 y=x 例2将周期函数(1)=Esm展开成傅氏级数其中E是正常数 解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续

3 和函数图象： a = 0, (n = 0,1,2, ) n  =   0 ( )sin 2 b f x nxdx n  =   0 sin 2 x nxdx   2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − + n n cos 2 = − ( 1) , 2 +1 = − n n (n =1,2, ) sin 3 ) 3 1 sin 2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1   = + − = n n nx n (−  x  +; x   ,3 , ) sin 5 ) 5 1 sin 4 4 1 sin 3 3 1 sin 2 2 1 y = 2(sin x − x + x − x + x 观察两函数图形 例 2 将周期函数 u(t) = Esin t 展开成傅氏级数,其中 E 是正常数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续. −  −  2 − 2 −3 3 x y 0 y = x

2 ()为偶函数 b=o,(n ao==u(dt==r Esin tdt= a,==u(Ocos ndt = Esin t cos ndt E Isin( n+I)t D)rdt osn+y+cos-(m≠) n 当n=2k (2k)2-1z (k=1,2,…) a=-[ u(costdt=-[Esin t cos tdt =0 4E 2t-cos4t--cos6t-…) 丌23 coS 2nx [-2 1(-∞<x<+∞) 二、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 设f(x)定义在0,x]上延拓成以2r为周期的函数F(x f(x)0≤x≤丌 令F(x)= g(x)-丌<x<0 且F(x+2)=F(x) 奇延拓 则有如下两种情况 偶延拓 奇延拓:g(x)=-f(-x)

4 u(t)为偶函数,  = 0, bn (n =1,2, )  =   0 0 ( ) 2 a u t dt  =   0 sin 2 E tdt , 4  E =  =   0 ( ) cos 2 a u t ntdt n  =   0 sin cos 2 E t ntdt  = + − −   0 [sin( n 1)t sin( n 1)t]dt E   1 0 cos( 1) 1 cos( 1)       − − + + + = − n n t n E n t (n 1)      = + = − − = 0, 2 1 , 2 [(2 ) 1] 4 2 n k n k k E 当 当  (k =1,2, )  =   0 1 ( ) cos 2 a u t tdt  =   0 sin cos 2 E t tdt = 0, cos6 ) 35 1 cos 4 15 1 cos 2 3 1 2 1 ( 4 ( ) = − t − t − t − E u t  ]. 4 1 cos 2 [1 2 2 1  2  = − = − n n E nx  (−  x  +) 二、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 设f (x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的函数 F(x). , ( ) 0 ( ) 0 ( )    −     = g x x f x x F x   令 且F(x + 2) = F(x), 则有如下两种情况 .    偶延拓 奇延拓 奇延拓: g(x) = − f (−x) t u(t) 0  2 − 2 − E

f(x)0<x≤丌 则F(x)={0 x=0 f(-x)-n<x<0 f(x)的傅氏正弦级数 f(x)4∑ b sin nx(0≤x≤m) 偶延拓:g(x)=f(-x) 则F(x) f(x)0≤x≤丌 1f(-x)-z<x<0 f(x)的傅氏余弦级数 f(x)2+∑ac0smx(0≤x≤z) 例3将函数f(x)=x+1(0≤x≤x)分别展开成正弦级数和余弦级数 解(1)求正弦级数.对f(x)进行奇延拓 b,==f(x)sin nxdx=-(x+1)sin nxdx=--(1-T coS nT-cos nr)

5      − − −   =   = ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) f x x x f x x F x   则 f (x)的傅氏正弦级数   =  1 ( ) sin n f x bn nx (0  x   ) 偶延拓: g(x) = f (−x)    − −     = ( ) 0 ( ) 0 ( ) f x x f x x F x   则 f (x)的傅氏余弦级数   =  + 1 0 cos 2 ( ) n an nx a f x (0  x   ) 例 3 将函数 f (x) = x +1(0  x   ) 分别展开成正弦级数和余弦级数. 解 (1)求正弦级数. 对f (x)进行奇延拓,  =   0 ( )sin 2 b f x nxdx n  = +   0 ( 1)sin 2 x nxdx (1 cos cos ) 2     n n n = − − x y − 0  y − 0 

2丌+2 当n=1,3,5 2 当n=2,46, x+1=-[(丌+2)snx-ssn2x+(x+2)sn3x-…](0<x<丌) x+I=-[(T+2)sin x-sin 2x+-(T+2)sin 3x-sin 4x+-(T+2)sin 5x] y=x+1 A.52/2.53 (2)求余弦级数对f(x)进行偶延拓 (x+l)cos ndx=-(cos nT-1) n T 2,4,6, n'r 1,3,5 +1=z+1 5x+…](0≤x≤丌) x+1=5+1--(cos x+a2 cos 3x+=2 cos 5x+=2cos 7x) 511.522.5

6        − = = +  =   2,4,6, 2 1,3,5, 2 2 n n n n 当 当   ( 2)sin 3 ] 3 1 sin 2 2 [( 2)sin 2 x +1= + x − x +  + x −    (0  x   ) ( 2)sin 5 ] 5 1 sin 4 4 ( 2)sin 3 3 1 sin 2 2 [( 2)sin 2 x +1= + x − x + + x − x +  + x      (2)求余弦级数. 对f (x)进行偶延拓,  = +   0 0 ( 1) 2 a x dx =  + 2,  = +   0 ( 1) cos 2 a x nxdx n (cos 1) 2 2 =  −  n n      − = = =   1,3,5, 4 0 2,4,6, 2 n n n 当 当  cos5 ] 5 1 cos3 3 1 (cos 4 1 2 1 x + = + − x + 2 x + 2 x +   (0  x   ) cos 7 ) 7 1 cos5 5 1 cos3 3 1 (cos 4 1 2 1 2 2 2 x + = + − x + x + x + x   y = x +1 y = x +1

三、小结 1、基本内容 奇函数和偶函数的傅氏系数正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓; 2、需澄清的几个问题(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数; b在0,]上展成周期为2m的傅氏级数唯 c在-π,π]上连续且只有有限个极值点时,级数处处收敛于f(x) 思考题 设f(x)是在a,b上定义的函数,应如何选择 A,B,才能使F(1)=f(4t+B)成为-丌,n]上 定义的函数 思考题解答 应使4(-m)+B=a,Ar+B=b, 即A b B

7 三、小结 1、基本内容: 奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓; 2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数; b.在[0,]上,展成周期为2的傅氏级数唯一; c.在[−,]上连续且只有有限个极值点时,级数处处收敛于f (x). 思考题 . , , ( ) ( ) [ , ] ( ) [ , ] , 定义的函数 才能使 成为 上 设 是在 上定义的函数 应如何选择 A B F t = f At + B −  f x a b 思考题解答 应使A(−)+ B = a, A + B = b, . 2 , 2 b a B b a A + = − =  即