《高等数学》课程电子教案：第十章（10.3）格林公式及其应用（22）

章节题目 第三节格林公式及其应用(2) 曲线积分与路径无关的定义、条件 二元函数的全微分求积 内容提要 曲线积分与路径无关的判定 全微分函数的计算 重点分析 积分与路径无关的四个等价命题 难点分析 题P4(3)、5(单)、6(单) 布 备注

1 章 节 题 目 第三节 格林公式及其应用（2） 内 容 提 要 曲线积分与路径无关的定义、条件 二元函数的全微分求积 重 点 分 析 曲线积分与路径无关的判定 全微分函数的计算 难 点 分 析 积分与路径无关的四个等价命题 习 题 布 置 P184 4（3）、5（单）、6（单） 备 注

教学内容 曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有 B L2 Pdx+Ody=L Pdx+Ody 则称曲线积分[P+h在G内与路径无关否则与路径有关 、曲线积分与路径无关的条件 定理2设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连 续偏导数则曲线积分「Px+Qb在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的 aP aC 曲线积分为零)的充要条件是 在G内恒成 有关定理的说明: (1)开区域G是一个单连通域 (2)函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数 两条件缺一不可 三、二元函数的全微分求积 定理3设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连 续偏导数,则P(x,y)dax+Q(x,y)d在G内为某一函数l(x,y)的全微分的充要 条件是等式 aP a0 在G内恒成立 2

2 教 学 内 容 一、曲线积分与路径无关的定义 如果在区域 G 内有  + L1 Pdx Qdy =  + L2 Pdx Qdy 则称曲线积分  + L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关,否则与路径有关. 二、曲线积分与路径无关的条件 定理 2 设开区域 G 是一个单连通域, 函数 P(x, y), Q(x, y) 在 G 内具有一阶连 续偏导数,则曲线积分  + L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关 （或沿 G 内任意闭曲线的 曲线积分为零）的充要条件是 x Q y P   =   在 G 内恒成立. 有关定理的说明： (1) 开区域 G 是一个单连通域. (2) 函数 P(x, y), Q(x, y) 在 G 内具有一阶连续偏导数. 两条件缺一不可 三、二元函数的全微分求积 定理 3 设开区域 G 是一个单连通域, 函数 P(x, y), Q(x, y) 在 G 内具有一阶连 续偏导数, 则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 在 G 内为某一函数 u(x, y) 的全微分的充要 条件是等式 x Q y P   =   在 G 内恒成立. G y o x L1 L2  B  A

1B6(x,y1) 4C(x1,y) 则 Pdx+Od JA(Io,o) P(x,y+」Q(x,y)d 或=,0xy)+P(x 例1计算jx2+2xy)+(x2+y)其中L为由点O0.O)到点BU1)的曲 线弧y=sna 解 (x2+2xy)=2x P a 原积分与路径无关 故原式=x+1(+y地23 例2设曲线积分xyd+y(x)d与路径无关,其中q具有连续的导数且 L 0(0)=0,计算厂xy2ax+yq(x)dy N P(x, y)=xy, O(x, y)=yo(x). ap a Lyo(x)=yo(x) 积分与路径无关 由yq(x)=2xy→(x)=x2+c 由(0)=0,知c=0→(x)=x2

3 x Q y P      若  + ( , ) ( , ) 1 1 0 0 B x y A x y 则 Pdx Qdy P x y dx Q x y dy y y x x ( , ) ( , ) 1 0 1 0 =  0 +  1 Q x y dy P x y dx x x y y ( , ) ( , ) 1 0 1 0 或 =  0 +  1 例 1 计算  + + + L (x 2xy)dx (x y )dy 2 2 4 .其中L为由点 O(0, 0) 到点 B(1,1) 的曲 线弧 2 sin x y  = . 解 x xy x y y P ( 2 ) 2 2 + =   =   ， x y x x x Q ( ) 2 2 4 + =   =   x Q y P   =    ，原积分与路径无关 故原式   = + + 1 0 1 0 2 4 x dx (1 y )dy . 15 23 = 例 2 设曲线积分  + L xy dx y (x)dy 2  与路径无关, 其中  具有连续的导数, 且 (0) = 0,计算  + (1,1) (0,0) 2 xy dx y(x)dy . 解 ( , ) , 2 P x y = xy Q(x, y) = y(x), ( ) 2 , 2 xy xy y y P =   =   [ y (x)] y (x), x x Q  =    =   积分与路径无关 x Q y P   =   ， 由 y(x) = 2xy  x = x + c 2 ( ) 由 (0) = 0 ，知 c = 0 2 (x) = x . ( , ) 1 0 •C x y ( , ) 1 1 • B x y x y o ( , ) 0 0 • A x y

ys loo yar+yo(x)dy = odx+f,ydy 四、小结 与路径无关的四个等价命题 条件 在单连通开区域D上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成 等价命题 )在DP+b与路径无关 (2)Pa+hy=0闭曲线CcD (3)在D内存在U(x,y)使h=Pahx+Qhy (4)在D内, aP

4 故  + (1,1) (0,0) 2 xy dx y(x)dy   = + 1 0 1 0 0dx ydy . 2 1 = 四、小结 与路径无关的四个等价命题 条件 在单连通开区域 D 上 P(x, y), Q(x, y) 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成 立. 等价命题  + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关  + =  C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx+Qdy x Q y P D   =   (4) 在 内