《运筹学》课程授课教案（讲稿）第8讲 对偶问题的经济解释

课程名称：《运筹学》第8讲次授课题目对偶问题的经济解释一影子价格本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，了解线性规划的对偶问题的经济解释一一影子价格，理解互补松弛定理。。[重点及难点]理解线性规划的对偶问题的经济解释并会应用。内容【本讲课程的引入]今天我们开始学习对偶问题的经济解释一影子价格[本讲课程的内容]一、对偶问题的经济解释对偶解的数学意义：当得到最优解后，目标函数值z=CTX*=bTY*z=ylb/+y2b2+..+ymbm将bl,b2...bm看作变量，对右边项求偏导/abi=yi对偶解的意义是：当取得最优解的前提下，右边资源项bi的单位改变量（其他参数不变）所引起目标函数=的改变量。对偶解的经济意义：如果把线性规划约束看成广义资源约束，右边项代表资源的可用量，其经济含义是资源对经济目标的边际贡献。目标函数值通常用价值量衡量，对偶解也具有价值内涵，被称为影子价格。影子价格是对偶解十分形象的名称，它既表明对偶解是对资源的一种客观估价，又表明它是虚拟而不是真实的价格。影子价格有以下几个特点：（1）系统资源的最优估价影子价格是综合考虑系统内所有因素和相互之间影响之后对资源在系统内的真实价值的估价。只有系统达到最优状态时才可能赋予该资源这种价值。因此，也有人称之为最优计划价格

课程名称：《运筹学》 第 8 讲次 授课题目 对偶问题的经济解释 — 影子价格 本讲目的要求及重点难点： 目的要求] 通过本讲课程的学习，了解线性规划的对偶问题的经济解释—— 影子价格， 理解互补松弛定理。 [重点及难点] 理解线性规划的对偶问题的经济解释并会应用。 内 容 [本讲课程的引入] 今天我们开始学习对偶问题的经济解释 — 影子价格 [本讲课程的内容] 一、对偶问题的经济解释 对偶解的数学意义：当得到最优解后，目标函数值 z =CTX* = bT Y* z = y1b1+y2b2+.+ymbm 将 b1,b2,.bm 看作变量，对右边项求偏导 z  bi = yi 对偶解的意义是：当取得最优解的前提下，右边资源项 bi 的单位改变量（其他参数不变）所引起目 标函数 z 的改变量。 对偶解的经济意义： 如果把线性规划约束看成广义资源约束，右边项代表资源的可用量，其经济含义是资源对经济目 标的边际贡献。 目标函数值通常用价值量衡量，对偶解也具有价值内涵，被称为影子价格。 影子价格是对偶解十分形象的名称，它既表明对偶解是对资源的一种客观估价，又表明它是虚拟 而不是真实的价格。 影子价格有以下几个特点： （1）系统资源的最优估价 影子价格是综合考虑系统内所有因素和相互之间影响之后对资源在系统内的真实价值的估价。只 有系统达到最优状态时才可能赋予该资源这种价值。因此，也有人称之为最优计划价格

内容（2）影子价格与系统价值取向和状态有关影子价格(y=CBTB-1）的取值与系统的价值取向有关（反映在CB上);影子价格受系统状态影响（反映在B-1上)；系统内部资源数量和价格的任何变化都会引起影子价格的变化，从这种意义上讲，它是一种动态的价格体系。（3）影子价格是一种边际值它与经济学中边际成本的概念相同，在管理中有十分重要的应有价值，管理者可以根据资源在本企业内影子价格的大小决定企业的经营策略。（4）反映资源在系统内的稀缺程度如果资源在系统内供大于求，其影子价格为零。增加该资源的供应不会给系统目标带来任何变化。如果是稀缺资源，其影子价格大于零价格越高，资源的稀缺程度越高。例：某企业生产A，B两种产品。A产品需消耗2个单位的原料和1小时人工；B产品需消耗3个单位的原料和2小时人工。A产品售价23元，B产品售价40元。该企业每天可用于生产的原料为25个单位和15小时人工。每单位原料的采购成本为5元，每小时人工的工资为10元。问该企业如何组织生产才能使销售利润最大。（1）成本数据不直接反映在模型中。maxz=3xl +5x2S.1.2xl+3x2≤25xl +2x2 ≤15xl≥0x2≥0最优解：x=(5,5)T，z=40,对偶解：y=(1,1)。（2）成本数据直接反映在模型中max≥=23x1 +40x2-5x3-10x4≤0s.t.2x1 +3x2 -x3xl +2x2x4≤0

内 容 （2） 影子价格与系统价值取向和状态有关 影子价格 (y = CBT B-1) 的取值与系统的价值取向有关 (反映在 CB 上)； 影子价格受系统状态影响 (反映在 B-1 上) ; 系统内部资源数量和价格的任何变化都会引起影子价格的变化，从这种意义上讲，它 是一种动态的价格体系 。 （3） 影子价格是一种边际值 它与经济学中边际成本的概念相同，在管理中有十分重要的应有价值，管理者可以根 据资源在本企业内影子价格的大小决定企业的经营策略。 （4）反映资源在系统内的稀缺程度 如果资源在系统内供大于求，其影子价格为零。增加该资源的供应不会给系统目标带 来任何变化。 如果是稀缺资源，其影子价格大于零价格越高，资源的稀缺程度越高。 例: 某企业生产 A , B 两种产品。A 产品需消耗 2 个单位的原料和 1 小时人工； B 产品需消耗 3 个单位的原料和 2 小时人工。A 产品售价 23 元，B 产品售价 40 元。该企业每天可用于生产的原料为 25 个单位和 15 小时人工。每单位原料的采购 成本为 5 元，每小时人工的工资为 10 元。问该企业如何组织生产才能使销售利润 最大。 （1）成本数据不直接反映在模型中。 max z = 3x1 + 5x2 s.t. 2x1 + 3x2  25 x1 + 2x2  15 x1  0 , x2  0 最优解： x = (5 , 5)T ，z = 40， 对偶解：y = (1 , 1) 。 （2）成本数据直接反映在模型中 max z = 23x1 + 40x2 - 5x3 - 10x4 s.t. 2x1 + 3x2 - x3  0 x1 + 2x2 - x4  0

内容x3≤25x4 ≤ 15xl≥0,x2≥0 ,x3≥0,x4 ≥0最优解：x=(5,5,25,15)，==40对偶解：y=（6,11,1,1）计算影子价格时要注意资源成本是如何反映在目标函数中的若资源成本显性地反映在目标中影子价格=对偶解若资源成本隐性地反映在目标中影子价格=对偶解+资源成本按以下原则考虑经营策略：影子价格高于市场价格（或≥0）表明资源有获利能力，购入该资源。影子价格低于市场价格（或0）表明该资源无获利能力，出让该资源影子价格等于市场价格（或=0）表明该资源处于平衡状态，既不用买入，也不必卖出。二、互补松驰定理互补松弛定理（又称松紧定理）描述了线性规划达到最优时，原问题（或对偶问题）变量取值和对偶问题（或原问题）约束松紧之间的对应关系。互补松驰定理：如果X,Y分别是P和D的可行解，它们是P和D的最优解的充要条件是：(C-ATY)TX=0(b-AX)TY=0互补松驰定理中还可等价表示为：yi(bi-aix)=0i-1,2,..,m(cj-ypi)xj=0j=l,2,.,n互补松驰定理证明了最优线性规划的下列对应关系：原问题约束为紧=对偶变量≥0原问题约束为松=对偶变量=0；对偶约束为紧=原问题变量≥0：

内 容 x3  25 x4  15 x10 , x20 , x30 , x4  0 最优解： x = (5 , 5 , 25 , 15) , z = 40, 对偶解：y = ( 6 , 11 , 1 , 1 ) 计算影子价格时要注意资源成本是如何反映在目标函数中的, 若资源成本显性地反映在目标中 影子价格 = 对偶解 若资源成本隐性地反映在目标中 影子价格 = 对偶解 + 资源成本 按以下原则考虑经营策略： 影子价格高于市场价格（或0）表明资源有获利能力，购入该资源。 影子价格低于市场价格（或0）表明该资源无获利能力，出让该资源。 影子价格等于市场价格（或=0）表明该资源处于平衡状态，既不用买入, 也不 必卖出。 二、互补松弛定理 互补松弛定理(又称松紧定理)描述了线性规划达到最优时，原问题(或对偶问题) 变量取值和对偶问题(或原问题)约束松紧之间的对应关系。 互补松弛定理： 如果 X, Y 分别是 P 和 D 的可行解, 它们是 P 和 D 的最优解的充要条件是： (C - ATY)T X = 0 (b - AX)T Y= 0 互补松弛定理中还可等价表示为： yi(bi - ai x) = 0 i=1 , 2 , . , m (cj－ypj )xj = 0 j=1 , 2 , . , n 互补松弛定理证明了最优线性规划的下列对应关系： 原问题约束为紧  对偶变量  0； 原问题约束为松  对偶变量=0； 对偶约束为紧  原问题变量  0；

内容对偶约束为松=原问题变量=0：原问题变量>0=对偶约束为紧约束；原问题变量=0=对偶约束可紧可松。互补松弛性的经济意义若资源的影子价格大于零(yi>0)，必为紧缺资源，约束为紧约束(bi-aix=0);否则，若该资源仍有剩余，系统还未达到最优状态，利用该资源可使目标进一步得到改善。·若资源有剩余，约束为松(bi-aix>0)，其对偶解必为零(yvi=O)，否则，若对偶解大于零，增加该资源的使用还可使目标得到改善。例1已知线性规划min==2x1 +3x2+5x3+2x4+3x5S.1.xl+x2+2x3+x4+3x5≥42xl-x2+3x3+x4+x5≥3xl,x2,x3,x4,x5≥0其对偶问题的最优解为：y1*=0.8，y2*=0.6。试用对偶理论求出它的原问题的最优解。原问题的约束为紧约束，故有：x1 + 3x5= 42xl+x5=3解得：x1*=1，x5*=1原问题的最优解为：X=(1,0,0,0,1),=* = 5【本讲小结】影子价格随具体情况而异。在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生产：而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，企业则应卖掉已有资源。可见影子价格对市场有调节作用。[本讲课程的作业]】76页2.7

内 容 对偶约束为松  原问题变量=0； 原问题变量>0  对偶约束为紧约束； 原问题变量=0  对偶约束可紧可松。 互补松弛性的经济意义 • 若资源的影子价格大于零(yi0)，必为紧缺资源，约束为紧约束(bi-aix=0)； 否则，若该资源仍有剩余，系统还未达到最优状态，利用该资源可使目标进一步得到 改善。 • 若资源有剩余，约束为松(bi-aix0)，其对偶解必为零(yi=0)，否则，若对偶 解大于零，增加该资源的使用还可使目标得到改善。 例 1 已知线性规划 min z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 s.t. x1 + x2 + 2x3 + x4 + 3x5  4 2x1 - x2 + 3x3 + x4 + x5  3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5  0 其对偶问题的最优解为：y1* = 0.8, y2* = 0.6。试用对偶理论求出它的原问题的 最优解 。 原问题的约束为紧约束, 故有: x1 + 3x5 = 4 2x1 + x5 = 3 解得：x1* = 1， x5* = 1 原问题的最优解为： X = (1 , 0 , 0 , 0 , 1) , z* = 5 [本讲小结] 影子价格随具体情况而异。在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子 价格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，企业则应 卖掉已有资源。可见影子价格对市场有调节作用。 [本讲课程的作业] 76 页 2.7