《运筹学》课程授课教案（讲稿）第15讲 习题课

第_15_讲次课程名称：《运筹学》习题课授课题目本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，复习巩固第三章。[重点及难点】掌握基本原理和分析方法内容[本讲课程的引入]今天我们不讲新的内容，上习题课。[本讲课程的内容]一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2.简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系?5.利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）Xn+k>0，其经济意义是什么？7.在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量>n+k的检验数n+k>0（标准形为求最小值)，其经济意义是什么？8.将"ij，C,，bi的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。2.对偶问题的对偶问题一定是原问题。3.若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。4.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。5.若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解

课程名称：《运筹学》 第 15 讲次 授课题目 习题课 本讲目的要求及重点难点： 目的要求] 通过本讲课程的学习，复习巩固第三章。 [重点及难点] 掌握基本原理和分析方法 内 容 [本讲课程的引入] 今天我们不讲新的内容，上习题课。 [本讲课程的内容] 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关 系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量） xnk  0 ，其经济意义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量 n k x  的检验数  nk  0 （标准形为求最小值）， 其经济意义是什么？ 8．将 i j j bi a ,c , 的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解将会出现什么 变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解

内容6.已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量>0，说明在最优生产计划中，第i种资源已经完全用尽。7.已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量=0，说明在最优生产计划中，第i种资源一定还有剩余。8.对于aij，Cj，bi来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。9.若某种资源的影子价格为π，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k个单位，相应的目标函数值增加ku。10.应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x；<0，且×所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。三、写出下列线性规划的对偶问题maxz= 2x + 2x2 +3x + x4X+X2+X+X4≤122xj-X2 +3x3=-1X-X+ X4≥3；,x2≥0x3,x4无约束四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题min z =12xj +8x2 +16xg +12x42x+x2+4x3≥22x+2x2+4x4≥3X,2,3,X4 ≥0五、已知下表（表3一1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中×4，X5为松弛变量，问题的约束为≤形式表 3—1

内 容 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量  0  i y ，说明在最优生产计划 中，第 i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量  0  i y ，说明在最优生产计划 中，第 i 种资源一定还有剩余。 8．对于 i j j bi a ,c , 来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之 后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为 u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加 k 个 单位，相应的目标函数值增加 ku 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 xi  0 ，且 i x 所在行的所 有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、 写出下列线性规划的对偶问题 max 2 1 2 2 3 3 4 z  x  x  x  x ；                    1 2 3 4无约束 1 3 4 1 2 3 1 2 3 4 , 0 , , 3 2 3 1 12 x x x x x x x x x x x x x x 四、 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 min 12 1 8 2 16 3 12 4 z  x  x  x  x             , , , 0 2 2 4 3 2 4 2 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 x x x x x x x x x x ； 五、已知下表（表 3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中 4 5 x , x 为松弛 变量，问题的约束为  形式 表 3—1

内容XiX2X4XsX35/201/2101/2X3105/21/2-1/61/3xi00- 4-2- 4cj-2j（1）写出原线性规划问题；（2）写出原问题的对偶问题；（3）直接由表3一1写出对偶问题的最优解。六、某厂利用原料A、B生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利润及有关数据如表1一4所示，分别回答下列问题：表3-2甲丙乙原料拥有量45A635B43530单件利润415（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划：（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？（3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：A为3单位，B为2单位，单件利润为2：5单位、问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划；（4）若原材料A市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料B如数量不足可去市场购买，单价为05，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划

内 容 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 x 5/2 0 1/2 1 1/2 ０ 1 x 5/2 1 －1/2 0 －1/6 1/3 j j c  z 0 －４ 0 －４ －２ （1）写出原线性规划问题； （2）写出原问题的对偶问题； （3）直接由表３—１写出对偶问题的最优解。 六、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单 件利润及有关数据如表 1—4 所示，分别回答下列问题： 表 ３—２ 甲 乙 丙 原料拥有量 A B 6 3 3 4 5 5 45 30 单件利润 4 1 5 （1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划； （2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？ （3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５ 单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划； （4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场 购买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？ （5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划

内容[本讲小结】今天我们的习题课主要是对前面学习内容的巩固，课下再好好看看今天的习题。[本讲课程的作业］课下再好好看看今天的习题

内 容 [本讲小结] 今天我们的习题课主要是对前面学习内容的巩固，课下再好好看看今天的习 题。 [本讲课程的作业] 课下再好好看看今天的习题