西北工业大学自动化学院：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第16讲 广义根轨迹

②西业大兽 绘制根轨迹的法则 法则1根轨迹的起点和终点 法则2根轨迹的分支数,对称性和连续性 法则3实轴上的根轨迹 法则4根之和 ∑4=C(m-m≥2) 法则5渐近线 2k+1)兀 法则6分离点 i=l d-p 法则7与虚轴交点ReD(j]=ImD(jo)]=0 法则8出射角/入射角∑∠(s-p:)-∑∠s-z,)=(2k+1)m

绘制根轨迹的法则 法则 5 渐近线 n m p z n i m j i i a      1 1  n m k a      (2 1) 法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 根之和   n i i C 1  ( n  m  2 ) 法则 6 分离点        m j j n i i 1 d p 1 d z 1 1 法则 7 与虚轴交点 法则 8 出射角/入射角 (2k 1)π m j 1 ) j ) (s z n i 1 i (s p            ReD( j)  ImD( j)  0

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 绘制根轨迹的基本法则(18) 例1系统结构图如图所示 K (1)绘制当K=0→∞时系统的根轨迹 (2)分析系统稳定性随K变化的规律 (s+1)G7s-1) 2s+1 解.(1)G(S)= K(2s+1)3.5K(s+1/2) K=3.5K (s+1)2(s-1)(s+1)2 ①实轴上的根轨迹:-0.5,175 2+7/4+1/2 ②渐近线 3-1 (2k+1)丌 =±90° 3-1 ③出射角:180°-26+1809]=-180°→日=90° ④与虚轴交点:7D(s)=4s3+s2+(14K-10)s+7(K-1)=0 ReD(o)=-02+7(K-1)=0 O=0 0=√ lm[DOjl)=-4o3+(140-10)=0K=11K=97

§4.2 绘制根轨迹的基本法则（18） 例1 系统结构图如图所示 ) 4 7 ( 1) ( 3.5 ( 1 2) 1) 7 4 ( 1) ( (2 1) ( ) 2 2         s s K s s s K s 解. (1) G s ② 渐近线： 8 1 3 1 2 7 4 1 2       a        90 3 1 (2 1)  k a ① 实轴上的根轨迹：[-0.5, 1.75]      0 3.5 *v K K （1）绘制当K*= 0→∞ 时系统的根轨迹； （2）分析系统稳定性随K*变化的规律。 ③ 出射角：180 [2  180]  180    90 ④ 与虚轴交点：7 ( ) 4 (14 10) 7( 1) 0 3 2 D s  s  s  K  s  K   Re ( ) 7( 1) 0 2 D j    K   Im ( ) 4 (14 10) 0 3 D j           0 K  1   2 K  9 7

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY s4.2绘制根轨迹的基本法则(19 例1系统结构图如图所示 (1)绘制当K=0→∞时系统的根轨迹 (2)分析系统稳定性随K变化的规律 (s+1)G7s-1) 解.(2)分析: 2s+1 h(t) h(t) h(t) 单调发散 收敛 振荡发散 K=0>K0=1—k 不稳定 稳定 一Ka=9/7 不稳定 [s] jv l75 开环稳定≠闭环稳定负反馈未必一定能改善系统性能

§4.2 绘制根轨迹的基本法则（19） 例1 系统结构图如图所示 解. (2) 分析： （1）绘制当K*= 0→∞ 时系统的根轨迹； （2）分析系统稳定性随K*变化的规律。 开环稳定 ≠ 闭环稳定 负反馈未必一定能改善系统性能

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 绘制根轨迹的基本法则(20 K(TS+1) 例3单位反馈系统的开环传递函数为G(s+l)+’选定K值,绘制 当T变化时的根轨迹。 D(s)=S(+1)(S+2)+K(Ts+1)=0 K T +3s2+2s+K K 解.G(s K=K (s+1)(S+2) ①实轴上:[-∞,-2,-1,0 ②渐近线 qn=±60°,180° a分离点:1+1+1=0「解根 d1=-0.423 dd+i d+2 K d dd+1d+2|=0.385 ④虚轴交点 Re[D(jo)=-302+K=0 D(s)=s3+3s2+2s+K=0 a dgo) +2=0(K=6

§4.4 绘制根轨迹的基本法则（20） 例3 单位反馈系统的开环传递函数为 ( 1)( 2) ( ) *    s s s K 解. G s ② 渐近线：  1  a  60 , 180 a ① 实轴上：[-∞, -2], [-1, 0]      1 2 * v K K ( 1)( 2) ( 1) ( ) *    s s s K Ts G s ，选定K*值，绘制 ③ 分离点： 0 2 1 1 1 1      d d d 解根： 0.423 d1   ④ 虚轴交点： 1 2 0.385 * Kd  d d  d   当T变化时的根轨迹。 ( ) ( 1)( 2) ( 1) 0 * D s  s s  s   K Ts   3 2 * * * 3 2 ( ) s s s K K Ts G s     ( ) 3 2 0 3 2 * D s  s  s  s  K             Im[ ( ) 2 0 Re[ ( ) 3 0 3 2 *      D j D j K      6 2 * K 

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 绘制根轨迹的基本法则(21 G(S) K(TS+1) s(s+1)(s+2) D(s)=(S+1)(S+2)+K"(Ts+1)=0 K=20 K T K"=6 +3s2+2s+K 3 K=20 K=20 20T 0 +3s2+2s+20 20T5 (S+385)s+0.425±j22351 虚轴交点:D(s)=s3+332+(2+207)s+K"=0 Re[D(jo)=-302+20=0 =2.582 Im|D(io)=-03+(2+207)=0T=0.233

§4.4 绘制根轨迹的基本法则（21） ( 1)( 2) ( 1) ( ) *     s s s K Ts G s 虚轴交点： ( ) ( 1)( 2) ( 1) 0 * D s  s s  s   K Ts   3 2 * * * 3 2 ( ) s s s K K Ts G s     ( ) 3 (2 20 ) 0 3 2 * D s  s  s   T s  K  20 * K  6 * K  3 * K  20 * K  3 2 20 20 ( ) 3 2 *     s s s Ts G s ( 3.85)[ 0.425 2.235] 20 ( ) * s s j Ts G s                 Im[ ( )] (2 20 ) 0 Re[ ( )] 3 20 0 3 2      D j T D j      0.233 2.582 T 

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 旬动控制原理 (第16讲) §4根轨迹法 §4.1根轨迹法的基本概念 §4.2绘制根轨迹的基本法则 4.3广义根轨迹 §4.4利用根轨迹分析系统性能

自动控制原理 （第 16 讲） §4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能 §4 根轨迹法

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 旬动控制原理 (第16讲) §4.3广义根轨迹

自动控制原理 （第 16 讲） §4.3 广义根轨迹

西北工大学 NORTHWESTERN POLYTECHNICAL. UN §4.3 广义根轨迹 §4.3.1参数根轨迹一除K*之外其他参数变化时系统的根轨迹 (s+a)/4 例2系统开环传递函数G(s)=2a=0→∞变化,绘制根轨迹;ξ=1时,(s)=? s2(s+1) 解.(1)D(s)=s3+s2+-s+-a=0 4 4 a/4 a/4 s】j 构造“等效开环传递函数”G(s)=3+s2+s/4s(s+0.5) ①实轴根轨迹:[-∞,0] 0.5 ②渐近线:On=-1/3a=±60°,180° 1 ③分离点:+=0 dd+0.5 1 -0.5 0 整理得:3d+0.5=0→d=-1/6 aa=4+0.5=2/27 -0.5 ④与虚轴交点:D(s)=s3+s2+s/4+a/4=0 ReD(j)=-a2+a/4=0=12 Im[(j)=-a3+/4=0a=1

§4.3 广义根轨迹 例2 系统开环传递函数 0 4 1 4 1 ( ) 3 2 解. (1) D s  s  s  s  a  ② 渐近线：  1 3  a  60 , 180  a ① 实轴根轨迹：[-∞,0] ( 1) ( ) 4 ( ) 2    s s s a G s ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? ③ 分离点： 0 0.5 1 2    d d 整理得： 3d  0.5  0  d  1 6 ④ 与虚轴交点： §4.3.1 参数根轨迹 — 除 K*之外其他参数变化时系统的根轨迹 3 2 2 * ( 0.5) 4 4 4 ( )      s s a s s s a 构造 “ 等效开环传递函数 ” G s 4 0.5 2 27 2 ad  d d   Re ( ) 4 0 2 D j    a  Im ( ) 4 0 3 D j       1 2 a  1 ( ) 4 4 0 3 2 D s  s  s  s  a 

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.3.1 参教根轨迹(1) 解.(2)ξ=1时,对应于分离点d,a2/27 /4 s+a)a=2(s+ G(S) s(S+0.5) G() s(S+1 s2(s+1) 0.5 (S+) ①(S)= 2 s(S+1)+,(S+ (S+)2(S+ 27 0.5 h(t) h(t) 单调收敛 振荡收敛 振荡发散 ad 0.5 动态 o%=0 o%↑ 性能 s 稳定性 稳定 不稳定 稳态 4A 误差 K e

§4.3.1 参数根轨迹（1） 解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27 ( 1) ) 27 2 ( 4 1 ( 1) ( ) 4 1 ( ) 2 2 27 2        s s s s s s a G s a ) 3 2 ) ( 6 1 ( ) 27 2 ( 4 1 ) 27 2 ( 4 1 ( 1) ) 27 2 ( 4 1 ( ) 2 2         F  s s s s s s s s 2 * ( 0.5) 4 ( )   s s a G s

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.3.1 参教根轨迹(2) 例3单位反馈系统的开环传递函数为)=(+Dy,10绘制根轨; 解I.D(s)=T3+s2+615s+15990=0 (s2+615+15990)(s+27.7)(S+587.7) G(s)= d10 877 ①实轴上的根轨迹:[-∞,25877],[-277,0] 1000800600400200 ②出射角:2×0-30=(2k+1)兀 6=±60°180° 600 ③虚轴交点: Re[D(io)]=-o2+1599=-0 =√15990=126.45 lnD(io)-o3+6150=01r=615/15990035 ④分离点: 1190√ dd+27.7d+587.7 解根 d+27.7d+5877 整理得:d2+1231d+47970=0 =0.00055

§4.3.1 参数根轨迹（2） 例3 单位反馈系统的开环传递函数为 ( ) 615 15990 0 3 2 解 I . D s  Ts  s  s   ② 出射角： 2 0  3  (2k  1)   60 , 180 ① 实轴上的根轨迹：[-∞,-587.7], [-27.7,0] ( 1) 615( 26) ( ) 2    s Ts s G s , T=0→∞, 绘制根轨迹。 ④ 分离点： 587.7 1 27.7 3 1     d d d 整理得： 1231 47970 0 2 d  d   解根： 40.5, 1190 d1   d2   0.00055 27.7 587.7 3     d d d Td 3 3 2 * ( 27.7)( 587.7) 1 ( 615 15990) 1 ( ) s s S T s s s T G s       ③ 虚轴交点： Re ( ) 15990 0 2 D j     Im ( ) 615 0 3 D j  T      15990  126.45 T  615 15990  0.0385