济南大学信息学院：《现代控制理论》第一章 线性控制系统的状态空间描述

第一章 线性控制系统的状态间描述 济南大学信息学院 Epantment of Information and Contral Engineering Of Jinan Universiy httplice.sdibm.edu.cn, 翻开进入

第一章 线性控制系统的状态空间描述 第一章 线性控制系统的状态空间描述 济南大学信息学院 Epantment of Information and Contral Engineering Of Jinan Universiy http://ice.sdibm.edu.cn/ 翻开进入

目录 11状态空间描述的概念 12系统的一般时域描述化为状态空间描述 1.3系统的频域描述为状态空间描述 14据状态变量图列写线性系统的状态空间描述 15据系统方块图导出状态空间描述 16将状态方程化为规范形式 ↓

目录 1.1 状态空间描述的概念 1.2 系统的一般时域描述化为状态空间描述 1.3 系统的频域描述为状态空间描述 1.4 据状态变量图列写线性系统的状态空间描述 1.5 据系统方块图导出状态空间描述 1.6 将状态方程化为规范形式

1.1状态空间描述的概念 基本定义 l数学描述的三种形式 例1:如图RLC网络 u输入变量u-输出变量 R L du √ di L-t ritu =u 消去中间变量: +rc-ctu=u 传函表示形式: U(s) LCS+RCS+1

1.数学描述的三种形式 例 1：如图 R-L-C 网络 u-输入变量 u c -输出变量 消去中间变量： 传函表示形式： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = = Ri u u dt di L i dt u C c d c 1.1状态空间描述的概念 一 .基本定义 R L c u u u dt du RC dt d u LC c c c + + = 2 u i C 1 1 ( ) ( ) 2 + + = U s LCS RCS U s c

阶微分方程表示形式: RiX dt L 向量矩阵表示形式: l「0Tl「0 1二R 从上述例题中看出描述可分为两种基本类型 外部描述 内部描述 2内部描述与外部描述

一阶微分方程表示形式： 向量矩阵表示形式： 从上述例题中看出,描述可分为两种基本类型 外部描述 内部描述 2.内部描述与外部描述 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − − + = = u L i L R u dt L di i i dt c du u c c c 1 1 1 & & u i u i u L c L R L c C ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 0 0 & & ⎩ ⎨ ⎧

)外部描述--输入-输出描述 描述的前提是把系统视为一个“黑箱”,不去表征系统的内部结 构和内部变量,只是反映外部变量间的因果关系,即输入一输出 间的因果关系 表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。 2)内部描述 是基于系统内部分析的一类数学模型,它需要有2个数学方程来 组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数 学表达式,称状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量 组和输出变量组间转换关系的数学表达式,称输出方程。 3定义 状态变量:动力学系统的状态是指能完整地确定地描述系统的时 域行为的最小一组变量。如果给定了tto时刻这组变量 值,和t>=to时输入的时间函数,那么,系统在t>=to的 任何瞬间的行为就完全确定了,这组变量称为状态变

１.)外部描述 ---- 输入-输出描述 描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结 构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系，即输入—输出 间的因果关系。 表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。 2.)内部描述： 是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有2个数学方程来 组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数 学表达式，称状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量 组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。 3.定义: 状态变量:动力学系统的状态是指能完整地,确定地描述系统的时 域行为的最小一组变量。如果给定了t=to时刻这组变量 值，和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的 任何瞬间的行为就完全确定了 ，这组变量 称为状态变 量

状态向量:以状态变量为元所组成的向量称为状态向量。如 xn(t)是系统一组状态变量。则状态向 量为 x,(t x(t) 或x2=1()x0).xn() 状态空间:以状态变量x1x2xn为坐标轴组成的n维正交空间称 为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变 量的唯一的,特定的一组值

状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态 向量。如 x1(t) 、 x 2(t)……x n(t)是系统一组状态变量。则状态向 量为： 状态空间：以状态变量 x1,x 2,…x n为坐标轴,组成的 n维正交空间称 为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变 量的唯一的，特定的一组值 。 [ ( ), ( )... ( ) ] ( ) ... ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 x x t x t x t x t x t x t x t n T n = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 或

被控过程的状态空间描述 L被控过程的动力学描述及控制系统方框图 1.)被控过程动力学描述 里 部 控对象 部 输出变量 输入变量 状态变量

二．被控过程的状态空间描述 1.被控过程的动力学描述及控制系统方框图 . １.）被控过程动力学描述 输入变量 执行部件 被控对象 则量部件 输出变量 n x x M 1 n y y M 1 M u r u1 状态变量

2)控制系统 被控过程 r ,, 」控制器 2状态空间描述的建立 方法:把一个高阶微分方程化为所确定的状态变量相应的一阶微分方 程组,然后用向量矩阵形式表示 例12RCL网络如图所示。e(t)输入变 量,l2()输出变量。试求其状态空间描 R 述 e(t 解:1.)确定状态变量 选llc和l构成最小变量组, 组成状态向量x=[lll

2.)控制系统 2.状态空间描述的建立 方法:把一个高阶微分方程化为所确定的状 态变量相应的一阶微分方 程组,然后用向量矩阵形式表示. 例1.2 R-C-L 网络如图所示。e(t)-输入变 量， -输出变量。试求其状态空间描 述 解：1.)确定状态变量 选 和 构成最小变量组, 组成状态向量 x=[ ] 1 y n y 1 u r u l i ( ) 2 u t R + − e(t) uc uc l i 控制器 被控过程 R1 L + uc − − + R uR2 2 c ic il

2)列写网络方程并化为一阶微分方程组 R(ic+iL)+L=e(t) R(+i1)+lc+R2ic=e(1)( 消去不是所确定的状态变量即将i。=c如代入 Ri +r,c duc+uc+r2c du c=e(t r,i, +rc duct dt e(t) (4) 由(3)式得 dt R e(t) (5) dt (R+r2)C(R,+R2)C(R,+R2)c 由(4)式得 rc du R +-e(t l dt L L (5)式代入(6)式 R1 rR2 R2 dt (R+R)L (R+R)L(R+R)lo

2.)列写网络方程并化为一阶微分方程组: 消去不是所确定的状态变量,即将 代入 由（ 3）式得 由（ 4）式得 （ 5）式代入（ 6）式 ： dt du c c i = c ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + = ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 2 1 R i i u R i e t e t dt di R i i L C L C C L C L ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + + = ( ) (4) ( ) (3) 1 1 1 1 2 e t dt di L dt du R i R C e t dt du u R C dt du R i R C C L L C C C L ( ) (5) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 e t R R C i R R C R u dt R R C du C L C + + + − + = − ( ) ( 6 ) 1 1 1 e t L i L R dt du L R C dt di L L C = − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 e t R R L R i R R L R R u R R L R dt di C L L + + + − + =

3.)状态空间描述 R 状态方程: (R1+R2)C (R1+R2)C (R1+R2)C e(t) R1 rR2 R2 i」L(R+R2)L (R+R2)L」[2」L(R+R2)L 输出方程: RlC R+R2 Rr R u =Ric=R,c dt R+R2 R1+R2 R RI R R2 R1+R2 R1+R2 R1+R2 R1 (R1+R2)C A= (R+R2)C B=(R+R)C R1 R,R2 R2 (R1+R2)L (R+R2)L I (R+R2)L2 R RR2 D R2 R1+R2 R+R2」12 R+R

3.)状态空间描述 输出方程: 令： ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 e t R R L R R R C i u R R L R R R R L R R R C R R R C i u L C L C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ & & ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 e t R R R i R R R R u R R R dt du u R i R C C L C R C + + + − + = = = − [ ] [ ] ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 e t R R R i u R R R R R R R u L C R ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = − 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 , ( ) ( ) 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 × × × × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + − = R R R D R R R R R R R C R R L R R R C B R R L R R R R L R R R C R R R C A 状态方程：