《信号与系统》课程教学资源（PPT讲义课件）第七章 状态变量分析

信号与系统 第七章

信号与系统 第七章

第7章状态变量分析 71状态与状态空间 7.2连续系统状态方程的建立 73连续系统状态方程的解 74离散系统状态变量分析 7.5系统的可控制性和可观测性 习题7

第7章 状态变量分析 7.1 状态与状态空间 7.2 连续系统状态方程的建立 7.3 连续系统状态方程的解 7.4 离散系统状态变量分析 7.5 系统的可控制性和可观测性 习题7

第7章状态变量分析 分析一个物理系统,首先必须建立系统的数学模型,以便 利用有效的数学工具解决实际问题。在系统分析中常用的系 统描述方法有输入-输出描述法和状态变量描述法两大类。 前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入-输出描述 法(iput- output description,又称端口分析法,也称外部法 它强调用系统的输入、输出变量之间的关系来描述系统的特 性。一旦系统的数学模型建立以后,就不再关心系统内部的 情况,而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的 影响。这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握,对于较 为简单系统的分析是合适的。其相应的数学模型是n阶微分 (或差分)方程。 随着系统的复杂化,往往要遇到非线性、时变、多输入、多 输出系统的情况。此外,许多情况下在研究其外部特性的同

第7章 状态变量分析 分析一个物理系统，首先必须建立系统的数学模型，以便 利用有效的数学工具解决实际问题。在系统分析中常用的系 统描述方法有输入-输出描述法和状态变量描述法两大类。 前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入-输出描述 法(input-output description),又称端口分析法，也称外部法。 它强调用系统的输入、输出变量之间的关系来描述系统的特 性。一旦系统的数学模型建立以后，就不再关心系统内部的 情况，而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的 影响。这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较 为简单系统的分析是合适的。其相应的数学模型是n 阶微分 (或差分)方程。 随着系统的复杂化，往往要遇到非线性、时变、多输入、多 输出系统的情况。此外，许多情况下在研究其外部特性的同

时,还需要研究与系统内部情况有关的问题,如复杂系统的 稳定性分析,最佳控制,最优设计等等。这时,就需要采用 以系统内部变量为基础的状态变量描述法( state variable description),这是一种内部法。它用状态变量描述系统内部 变量的特性,并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系 起来,用于描述系统的外部特性。与输入-输出描述法相比, 状态变量描述法具有以下主要优点: (1)可以有效地提供系统内部的信息,使人们较为容易地 处理那些与系统内部情况有关的分析、设计问题; (2)状态变量分析法不仅适用于线性时不变的单输入-单输 出系统特性的描述,也适用于非线性、时变、多输入、多输 出系统特性的描述; (3)便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算

时，还需要研究与系统内部情况有关的问题，如复杂系统的 稳定性分析，最佳控制，最优设计等等。这时，就需要采用 以系统内部变量为基础的状态变量描述法(state variable description)，这是一种内部法。它用状态变量描述系统内部 变量的特性，并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系 起来，用于描述系统的外部特性。与输入-输出描述法相比， 状态变量描述法具有以下主要优点： (1) 可以有效地提供系统内部的信息，使人们较为容易地 处理那些与系统内部情况有关的分析、设计问题； (2) 状态变量分析法不仅适用于线性时不变的单输入-单输 出系统特性的描述，也适用于非线性、时变、多输入、多输 出系统特性的描述； (3) 便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算

本章首先介绍状态和状态空间的概念和状态变量描述的方法, 然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解的 方法,最后简要地讨论状态空间中系统可控制性和可观测性的 判定问题 71状态与状态空间 为了方便建立状态方程,下面先给出连续系统状态变量分析 法中常用的几个名词的定义。 1状态( state)状态可理解为事物的某种特性。状态发生变化 意味着事物有了发展和改变,所以,状态是研宄事物的一类依 据。系统的状态就是系统的过去,现在和将来的状况。从本质 上说,系统的状态是指系统的储能状况。 2状态变量( state variable)用来描述系统状态的数目最少的 组变量。显然,状态变量实质上反映了系统内部储能状态的 变化。常用x 来表示

本章首先介绍状态和状态空间的概念和状态变量描述的方法， 然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解的 方法，最后简要地讨论状态空间中系统可控制性和可观测性的 判定问题。 7.1 状态与状态空间 为了方便建立状态方程，下面先给出连续系统状态变量分析 法中常用的几个名词的定义。 1.状态(state) 状态可理解为事物的某种特性。状态发生变化 意味着事物有了发展和改变，所以，状态是研究事物的一类依 据。系统的状态就是系统的过去，现在和将来的状况。从本质 上说，系统的状态是指系统的储能状况。 2.状态变量(state variable) 用来描述系统状态的数目最少的 一组变量。显然，状态变量实质上反映了系统内部储能状态的 变化。常用 x1 (t), x2 (t),  来表示

这组状态变量可以完全唯一地确定系统1>t任意时刻的运动 状况。这种所谓“完全”表示反映了系统的全部状况,“最 少”表示确定系统的状态没有多余的信息。 3状态矢量( state vector)能够完全描述一个系统行为的n个状 态变量,可以看成一个矢量的各个分量的坐标,此时矢量称 为状态矢量,并可写成矩阵的形式 x()=[x1(),x2()…] 4.状态空间( (state space)状态矢量所在的空间称为状态空间。 状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数,也 称系统的复杂度阶数 (order of complexity),简称系统的阶数。 5.状态轨迹( state orbit)在状态空间中,系统在任意时刻的 状态都可以用状态空间中的一点(端点)来表示。状态矢量的端 点随时间变化而描述的路径,称为状态轨迹

这组状态变量可以完全唯一地确定系统 t>t0 任意时刻的运动 状况。这种所谓“完全”表示反映了系统的全部状况， “最 少”表示确定系统的状态没有多余的信息。 3.状态矢量(state vector)能够完全描述一个系统行为的 n 个状 态变量，可以看成一个矢量的各个分量的坐标，此时矢量称 为状态矢量，并可写成矩阵的形式 (7.1-1) 4. 状态空间(state space) 状态矢量所在的空间称为状态空间。 状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数，也 称系统的复杂度阶数(order of complexity)，简称系统的阶数。 5. 状态轨迹(state orbit) 在状态空间中，系统在任意时刻的 状态都可以用状态空间中的一点(端点)来表示。状态矢量的端 点随时间变化而描述的路径，称为状态轨迹。 x(t) = x t x t  T 1 2 ( ), ( ), 

用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。 当已知系统的模型及激励,用状态变量分析法时,一般分两步 进行:一是选定状态变量,并列写出用状态变量描述系统特性 的方程,一般是一阶微分(或差分)方程组,它建立了状态变量 与激励之间的关系;同时,还要建立有关响应与激励、状态变 量关系的输出方程,一般是一组代数方程;二是利用系统的初 始条件求取状态方程和输出方程的解 可见,建立状态方程遇到的第一个问题是选定状态变量。若已 知电路,最习惯选取的状态变量是电感的电流和电容的电压, 因为它们直接与系统的储能状态相联系。但也可以选择电感中 的磁链或电容上的电荷。甚至有时可以选用不是系统中实际存 在的物理量。但是状态变量必须是一组独立的变量,即所谓动 态独立变量,即系统复杂度的阶数n

用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。 当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时，一般分两步 进行：一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特性 的方程，一般是一阶微分(或差分)方程组，它建立了状态变量 与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与激励、状态变 量关系的输出方程，一般是一组代数方程；二是利用系统的初 始条件求取状态方程和输出方程的解。 可见，建立状态方程遇到的第一个问题是选定状态变量。若已 知电路，最习惯选取的状态变量是电感的电流和电容的电压， 因为它们直接与系统的储能状态相联系。但也可以选择电感中 的磁链或电容上的电荷。甚至有时可以选用不是系统中实际存 在的物理量。但是状态变量必须是一组独立的变量，即所谓动 态独立变量，即系统复杂度的阶数 n

72连续系统状态方程的建立 状态方程的建立主要有两大类:直接法和间接法。依据给 定系统结构直接编写出系统的状态方程。这种方法直观,有 很强的规律性,特别适用于电网络的分析计算。间接法常利 用系统的输入-输出方程、系统模拟图或信号流图编写状态方 程。这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计。本节 主要讨论连续系统状态方程的建立。 721连续系统状态方程的一般形式 连续系统的状态方程是状态变量的一阶徼分方程组,用矩 阵形式来表示,为 X=Ax+By 输出方程为 y=CX+D

7.2 连续系统状态方程的建立 状态方程的建立主要有两大类：直接法和间接法。依据给 定系统结构直接编写出系统的状态方程。这种方法直观，有 很强的规律性，特别适用于电网络的分析计算。间接法常利 用系统的输入-输出方程、系统模拟图或信号流图编写状态方 程。这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计。本节 主要讨论连续系统状态方程的建立。 7.2.1连续系统状态方程的一般形式 连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分方程组，用矩 阵形式来表示，为 x  = Ax+ Bv 输出方程为 y = Cx + Dv

上式中,系数矩阵A为n×n方阵,称为系统矩阵;系数矩阵 B为n×m矩阵,称为控制矩阵;系数矩阵C为r×n矩阵,称 为输出矩阵;系数矩阵D为r×m矩阵。对于线性时不变系统, 这些矩阵都是常数矩阵。 7.22由电路图建立状态方程 为建立电路的状态方程,首先要选择状态变量,其中,电容 和电感元件的VCR在电压、电流关联参考方向下,有如下关 系,即 C V,=l L 可见,若选择电容的电压和电感的电流作为状态变量很容 易满足状态方程的形式。实际上,电容的电压和电感的电流 正反映了电容和电感的储能状态。一般地说,由电路直接建 立状态方程的步骤如下:

上式中，系数矩阵A为 n×n方阵，称为系统矩阵；系数矩阵 B为n×m矩阵，称为控制矩阵；系数矩阵C为r×n矩阵，称 为输出矩阵；系数矩阵D为r×m矩阵。对于线性时不变系统， 这些矩阵都是常数矩阵。 7 .2.2 由电路图建立状态方程 为建立电路的状态方程，首先要选择状态变量，其中，电容 和电感元件的VCR在电压、电流关联参考方向下，有如下关 系，即 ， 。 可见，若选择电容的电压和电感的电流作为状态变量很容 易满足状态方程的形式。实际上，电容的电压和电感的电流 正反映了电容和电感的储能状态。一般地说，由电路直接建 立状态方程的步骤如下： dt dv i C C C = dt di v L L L =

选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量; 2.对于电容C应用KCL写出该电容的电流lc=C 与其它状态变量和输入变量的关系式; 3.对于电感L应用KⅥL写出该电感的电压V=E dt 与其它状态变量和输入变量的关系式; 4.消除非状态变量(称为中间变量) 5.整理成状态方程和输出方程的标准形式

1．选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量； 2．对于电容C应用KCL写出该电容的电流 与其它状态变量和输入变量的关系式； 3．对于电感L应用KVL写出该电感的电压 与其它状态变量和输入变量的关系式； 4． 消除非状态变量(称为中间变量)； 5． 整理成状态方程和输出方程的标准形式。 dt dv i C C C = dt di v L L L =