西南交通大学：《电磁场》课程教学资源（PPT课件）第0章 矢量分析 Vector Analysis

量分析 第0章矢量分析 Vector Analysis 标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式 回下页

第 零 章 矢 量 分 析 标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式 第0章 矢量分析 返 回 下 页 Vector Analysis

分析 0.1标量场和矢量场 Scalar field and vector field 场晷一个标量或一个矢量的位置函数,即场中 任一个点都有一个确定的标量或矢量。 例如,在直角坐标下: 5 P(x,y, 2= 4π(x-1)2+(y+2)2+22] 标量场 如温度场、电位场、高度场等; A(x,y,z)=2xye +xze +xyze 矢量场 如流速场、电场、涡流场等 「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中 任一个点都有一个确定的标量或矢量。 例如，在直角坐标下： 0.1 标量场和矢量场 4π[( 1) ( 2) ] 5 ( , , ) 2 2 2 x y z x y z − + + +  = 标量场 x y z x y z = x y e + x ze + xyze 2 2 A( , , ) 2 矢量场 如温度场、电位场、高度场等； 如流速场、电场、涡流场等。 Scalar Field and Vector Field 返 回 上 页 下 页

分析 ■形象描绘场分布的工具—场线 (1)标量场-等值线(面) 其方程为: h(x,y, z)=const 400~600 200 100 思考 图0.1.1等高线 在某一高度上沿什么方向高度变化最快? 「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析 h (x, y,z) = const 其方程为: 图0.1.1 等高线 (1) 标量场--等值线(面) 形象描绘场分布的工具——场线 思考 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 返 回 上 页 下 页

量分析 矢量场-矢量线 E 其方程为: E线 A×dl=0 在直角坐标下: 图0.1.2矢量线 二维场 d 三维场 dy dz 「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析 z A y A x Ax y z d d d 三维场 = = 二维场 y A x Ax y d d = 图0.1.2 矢量线 矢量场--矢量线 Adl = 0 其方程为： 在直角坐标下： 返 回 上 页 下 页

分析 0.2标量场的梯度 Gradient of scalar Field 设一个标量函数φ(x,y,z),若函数q在点P可 微,则φ在点P沿任意方向的方向导数为 (cos a, cos B, cos n) X Oy 02 设g=Cog e1=(cos a, cos B, cosy) 式中a,B,y分别是任一方向l与x,y,z轴的夹角 则有: ao=g =g cos(g,e,) al q最大 当6=(82)=0,a 「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析 0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field 设一个标量函数 (x，y，z)，若函数  在点 P 可 微，则  在点P 沿任意方向 l 的方向导数为 ( , , ) (cos,cos ,cos )            =   l x y z ), z , y , x (       =    g = (cos,cos,cos ) l 设 e 式中  , ,   分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角 | | cos( , ) l l l = g e = g g e   则有： 当  = ( g,el ) = 0， 最大 l  返 回 上 页 下 页

分析 Vo=grad o l50°c 梯度( gradient l00°C 70°C 式中V=( Ox oy az —哈密顿算子图013等温线分布 梯度的意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数 梯度的大小为该点标量函数q的最大变化率,即 最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。 「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析      =  = grad   +   +   x y z x y z e e e ——梯度(gradient) ——哈密顿算子 ) z , y , x (       式中  = 图0.1.3 等温线分布 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即 最大方向导数。  标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。 梯度的意义 返 回 上 页 下 页

量分析 例0.2.1三维高度场的梯度 fr, y) 高度场的梯度与过该点的等 高线垂直 数值等于该点位移的最大变 (x,y2)料率最大方向 化率; () 指向地势升高的方向 图0.2.1三维高度场的梯度 「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析 例 0.2.1 三维高度场的梯度 图0.2.1 三维高度场的梯度 高度场的梯度与过该点的等 高线垂直； 数值等于该点位移的最大变 化率； 指向地势升高的方向。 返 回 上 页 下 页

量分析 例0.2.2电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的 等位线垂直 数值等于该点的最大方向导数 指向电位增加的方向。 图0.2.2电位场的梯度 「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析 例 0.2.2 电位场的梯度 图0.2.2 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的 等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位增加的方向。 返 回 上 页 下 页

分析 0.3矢量场的通量与散度 Flux and Divergence of Vector 0.3.1通量(Fux) 矢量E沿有向曲面S的面积分 ds ①=∫E·dS 若S为闭合曲面=5EdS 图0.3.1矢量场的通量 根据通量的大小判断闭合面中源的性质: Φ=0(无源 Φ0(有正源) 图032矢量场通量的性质「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析 0.3 矢量场的通量与散度 0.3.1 通量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分 Φ =  S E dS 若 S 为闭合曲面 根据通量的大小判断闭合面中源的性质：  =  S Φ E dS Flux and Divergence of Vector  = 0 (无源)  0 (有正源) 图0.3.2 矢量场通量的性质 返 回 上 页 下 页 图0.3.1 矢量场的通量

量分析 0.3.2散度( Divergence) 如果包围点P的闭合面△S所围区域△以任 意方式缩小到点P时 A·dS=divA △->0 divA=v A=04104 aA 一散度( divergence 「返回「上页「下页

第 零 章 矢 量 分 析 0.3.2 散度 ( Divergence ) 如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任 意方式缩小到点 P 时： lim 1 A dS divA 0  =  →  S V V ———散度 (divergence) z A y A x A       =  = + + x y z divA A 返 回 上 页 下 页