清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第五章 中心力场（5.2）球无限深势阱

*S5.2球无限深势阱 1.球坐标系中的自由粒子波函数 球无限深势阱就是 (r)= j0,(0: (r>a) 所以球内(0≤r≤a)的方程就是自由粒子的 Schrodinger方程 hr 或者写为 Vv+kv=0.(k=√2uE/h) 但是现在要在球坐标系中解这个方程。代入 10(, r2( ar sing a0 sin e a0/ r2sin20 ac y=R(r)Ym(e,), sine sing a8a丿sin2a02 我们得到 R=0 在其中做自变量代换x=k,则方程变为 dr 2 dR l(+1) 这个方程在x=0处有限的解是球 Bessel(贝塞尔)函数j(x),所以 R(r)∝j() 也就是说, v(r,,o)j(k)x2(0,)(k=√2E/h) 球 Bessel函数与 Bessel函数的关系是 JI(x) Jva(x), 其中J12(x)是半整数阶Bess函数。一般地说, Bessel函数是特殊函数,但是半整数阶的Bess函 数却是初等函数,例如 sInx COSX 其他的半整数阶函数不难从 Bessel函数的递推公式求出。所以球 Bessel I函数也是初等函数,例如 ji(x)=sInx_.x 而(x)的普遍表达式是 1 sinx dx 由此不难发现,在x→∞时球 Bessel函数有渐近公式

1 *§5.2 球无限深势阱 1．球坐标系中的自由粒子波函数 球无限深势阱就是 0, (0 ) ( ) . ( ) r a V r r a    =  +  所以球内（ 0  r a ）的方程就是自由粒子的 Schrödinger 方程 2 2 , 2  E  −  = 或者写为 2 2  + = =    k k E 0. ( 2 / ) 但是现在要在球坐标系中解这个方程。代入 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin , sin sin r r r r r r                 = + +              ( ) ( , ),    = R r Ylm 2 2 2 1 1 sin ( 1) , sin sin  Y l l Y lm lm               + = − +          我们得到 2 2 2 2 1 ( 1) 0. d dR l l r k R r dr dr r     +   + − =       在其中做自变量代换 x kr = ，则方程变为 2 2 2 2 ( 1) 1 0. d R dR l l R dx x dx x   + + + − =     这个方程在 x = 0 处有限的解是球 Bessel（贝塞尔）函数 ( ) l j x ，所以 ( ) ( ), R r j kr l l  也就是说， ( , , ) ( ) ( , ). ( 2 / ) l lm       r j kr Y k E  = 球 Bessel 函数与 Bessel 函数的关系是 (1/ 2) ( ) ( ), 2 l l j x J x x  = + 其中 (1/ 2) ( ) l J x + 是半整数阶 Bessel 函数。一般地说，Bessel 函数是特殊函数，但是半整数阶的 Bessel 函 数却是初等函数，例如 1/ 2 2 J x x ( ) sin ,  x = 3/ 2 2 sin ( ) cos , x J x x  x x   = −     其他的半整数阶函数不难从 Bessel 函数的递推公式求出。所以球 Bessel 函数也是初等函数，例如 0 sin ( ) , x j x x = 1 2 sin cos ( ) , x x j x x x = − 而 ( ) l j x 的普遍表达式是 1 sin ( ) ( 1) . l l l l d x j x x x dx x     = −         由此不难发现，在 x → 时球 Bessel 函数有渐近公式

j,(x) sIn 所以在/>>>1时,自由粒子的径向波函数可以近似为 R(r) 2.球无限深势阱中能级的确定 根据我们以前说明过的波函数应满足的条件,由于在球外W≡0,所以球内的波函数必须在球的表 面上等于零,即 v(O,q)=0 既然在球内v(,6,)∝(知)Ym(O,q),所以必须有 j, (ka)=0 这就决定了k的取值。记方程 j(x)=0,(=0,1,2 的第n个根(从小到大计数)为x(mn=1,2,3…),那么k的允许值为 所以粒子的能级是 一般来说,x的值没有解析的表达式,但是/=0是一个例外,因为(x)=sinx/x,所以 n0=n, k (n=1,2,3…) 这正和把三维问题约化为一维问题以后宽度为a的一维无限深势阱的能级相同。最初几个xn的值列在 下表中(以为单位),它们所对应的能量就是表中数字的平方(以z2h2/212为单位) 2 =0 000 2.000 3.000 4.000 1430 2.459 3.471 4.477 =2 1.835 2.895 3.923 2.224 3.316 4.360 至于能级的简并度,精确地说,x对于不同的n,/都是不同的,所以能级只有对量子数m的简并, 即简并度是2/+1。但是如果能级很高,即x>>1,那么j(x)=0就近似成为 2 所以 x≈n 这使得球无限深势阱的高能级会出现“近简并”的情形

2 1 ( ) sin . 2 x l l j x x x →     ⎯⎯⎯→ −     所以在 kr 1 时，自由粒子的径向波函数可以近似为 1 ( ) sin . 2 l l R r kr kr     −     2．球无限深势阱中能级的确定 根据我们以前说明过的波函数应满足的条件，由于在球外   0 ，所以球内的波函数必须在球的表 面上等于零，即 ( , , ) 0. r a    r = = 既然在球内 ( , , ) ( ) ( , ) l lm      r j kr Y  ，所以必须有 ( ) 0. l j ka = 这就决定了 k 的取值。记方程 ( ) 0, ( 0,1,2, ; 0) l j x l x = =  的第 n 个根（从小到大计数）为 ( 1, 2, 3, ) nl x n = ，那么 k 的允许值为 , nl nl x k a = 所以粒子的能级是 2 2 2 . 2 nl nl x E a = 一般来说， nl x 的值没有解析的表达式，但是 l = 0 是一个例外，因为 0 j x x x ( ) sin / = ，所以 0 0 , . ( 1,2,3, ) n n n x n k n a  = = =  这正和把三维问题约化为一维问题以后宽度为 a 的一维无限深势阱的能级相同。最初几个 nl x 的值列在 下表中（以  为单位），它们所对应的能量就是表中数字的平方（以 2 2 2   /2 a 为单位）。 n =1 n = 2 n = 3 n = 4 l = 0 1.000 2.000 3.000 4.000 l =1 1.430 2.459 3.471 4.477 l = 2 1.835 2.895 3.923 l = 3 2.224 3.316 4.360 至于能级的简并度，精确地说， nl x 对于不同的 nl , 都是不同的，所以能级只有对量子数 m 的简并， 即简并度是 2 1 l + 。但是如果能级很高，即 1 nl x  ，那么 ( ) 0 l j x = 就近似成为 sin 0, 2 l x    −      所以 . 2 nl l x n     +     这使得球无限深势阱的高能级会出现“近简并”的情形