清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第六章 带电粒子在电磁场中的运动（6.2）Landau能级

§6.2 Landau能级 1.带电粒子在均匀磁场中的经典运动 设沿正z轴方向有强度为B的均匀磁场,一个质量为,电荷为q的带电粒子在XY平面内运动, 初始速度为γ,那么根据电磁学的知识我们知道,此后它将沿一个园轨道运动,其运动方向为:从XY 面的上方(正z轴的方向)向下看,q>0时是顺时针方向,q0) 那么 A Bx. 0 所以电子在均匀磁场中的 Hamiltonian算符是(设电子在XY平面内运动,注意q=-e) B eB H (P2+P2 2 8 p2 +o 2 其中 称为 Larmor频率 显然,现在的力学量完全集是{H,L},适合采用平面极坐标系(p,q)来求解,并可设 y(p,)=R(p)e.(m=0,±1,±2,…) 平面极坐标系中的 Laplace算符是 所以把v(P,)代入能量本征方程中得到径向方程为

1 §6.2 Landau 能级 1．带电粒子在均匀磁场中的经典运动 设沿正 z 轴方向有强度为  的均匀磁场，一个质量为  ，电荷为 q 的带电粒子在 XY 平面内运动， 初始速度为 v ，那么根据电磁学的知识我们知道，此后它将沿一个园轨道运动，其运动方向为：从 XY 平 面的上方（正 z 轴的方向）向下看， q  0 时是顺时针方向， q  0 时是逆时针方向。设粒子在园轨道上 的角速度为 c  = v R/ ， R 是园的半径，那么它的运动方程是 2 c qvB R =  , 所以 c . qB   = 这就是说， c 只取决于粒子的荷质比 ( q /  ) 和磁场强度，而与它的速度或轨道半径无关。这个角频 率称为粒子的同步回旋 (cyclotron) 频率。 2．带电粒子在均匀磁场中的量子运动 首先让我们写下均匀磁场的矢量势。不难证明，强度为  的均匀磁场的矢量势为 1 . 2 A r =   证明如下。 ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (3 ) . 2 2 2   =     =    −    =  −  =  A r r r 1 1 ( ) ( ) 0. 2 2   =     = −     = A r r ▌ 如果 , ( 0) z  =    e 那么， 1 1 , , 0 . 2 2 A y x   = −       所以电子在均匀磁场中的 Hamiltonian 算符是（设电子在 XY 平面内运动，注意 q e = − ） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L L 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) 2 8 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) , 2 2 x y x y y x x y z e e H P y P x e e P P x y xP yP P P x y L                = − + +                 = + + + + − = + + + + 其中 L c 1 2 2 eB    = = 称为 Larmor 频率。 显然，现在的力学量完全集是 ˆ ˆ { , } H Lz ，适合采用平面极坐标系 ( , )   来求解，并可设 i ( , ) ( ) . ( 0, 1, 2, ) e m R m      = =   平面极坐标系中的 Laplace 算符是 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , x y            +  = + +    所以把    ( , ) 代入能量本征方程中得到径向方程为

ap- pap HOLp mhO)R 在其中做变量代换 ≥ 方 那么方程成为 d2r 1 dr E R=0 d24 在ξ→时R→e2,在→0时R→2,所以可设 代入方程中得到l()需满足 公+(m|+1-5)元+E d 2u du m-|m|-1u=0 O 这又是合流超几何方程,它有多项式解的条件是 E=(2 m|+1)mn,(n=0,12,…) 或者写为 N=2nn+m+|m=0,2,4,…) 这就是粒子的能级。而(5)成为缔合 Laguerre多项式lm(5),所以径向波函数是 Rn(p)∝im()m2e 如果我们改用C2=2a而不是a来表达能级,那么能级又可以写为 En=n+hoc,n=n,+ 0,1,2 2 它与固有频率为的谐振子能级完全相同。这些能级就称为 Landau能级 *3. Landau能级的简并度 尽管 Landau能级的样子看起来和谐振子的能级一样,它们的简并度却完全不同。注意到 以及 所以对于给定的n,一旦n2=n,那么所有的m≤0都是允许的,所以 Landau能级的简并度是无穷大。 但是这要假设电子是在无限大的平面内运动。其实在现实的物理实验当中,任何“二维电子气体”样品 的面积都是有限的。设平面的面积为S,那么可以证明:所有的 Landau能级的简并度都是 h 或者写为 d g d 其中Φ=BS是整个平面内的总磁通,而 =4135667×10-15V 是所谓的“磁通量子”。也可以说单位面积上的能级简并度是

2 2 2 2 2 2 2 2 L L 1 1 ( ) . 2 2 m    R E m R              − + − + = −           在其中做变量代换 L 2 , ( 0)     =  那么方程成为 2 2 2 2 L 1 1 1 0. 4 2 4 d R dR E m m R d      d     + − − − + =         在  → 时 /2 R e → − ，在  → 0 时 | |/ 2 m R →  ，所以可设 | |/ 2 / 2 ( ) . e m R u    − = 代入方程中得到 u( )  需满足 2 2 L 1 (| | 1 ) | | 1 0. 2 d u du E m m m u d d        + + − + − − − =     这又是合流超几何方程，它有多项式解的条件是 L E n m m n (2 | | 1) , ( 0,1, 2, ) = + + + =    或者写为 L ( 1) , ( 2 | | 0, 2, 4, ) E N N n m m N = + = + + =   这就是粒子的能级。而 u( )  成为缔合 Laguerre 多项式 | |( ) m Ln  ，所以径向波函数是 | | | |/ 2 / 2 2 L ( ) ( ) . e m m R L Nm n        −    =     如果我们改用 c L   = 2 而不是 L 来表达能级，那么能级又可以写为 c 1 | | , 0,1, 2, 2 2 n m m E n n n       + = + = + =         它与固有频率为 c 的谐振子能级完全相同。这些能级就称为 Landau 能级。 *3．Landau 能级的简并度 尽管 Landau 能级的样子看起来和谐振子的能级一样，它们的简并度却完全不同。注意到 | |, ( 0,1, 2, ; 0, 1, 2, ) 2 m m n n n m   + = + = =   以及 | | , ( 0) 2 0, ( 0) m m m m m +   =    所以对于给定的 n ，一旦 n n  = ，那么所有的 m  0 都是允许的，所以 Landau 能级的简并度是无穷大。 但是这要假设电子是在无限大的平面内运动。其实在现实的物理实验当中，任何“二维电子气体”样品 的面积都是有限的。设平面的面积为 S ，那么可以证明：所有的 Landau 能级的简并度都是 , eBS g h = 或者写为 0 g ,  =  其中 = BS 是整个平面内的总磁通，而 15 0 4.135667 10 V s, h e −  = =  是所谓的“磁通量子”。也可以说单位面积上的能级简并度是

g eB 这些概念与凝聚态物理的一系列问题都有非常紧密的联系。初步的研究可以只考虑最低的 Landau能级 称为LLL近似。 如果我们取A的另一种规范 A=(-B 结果会更直接一些,请参看教材 作业:习题62,64

3 0 . g eB g S h = = 这些概念与凝聚态物理的一系列问题都有非常紧密的联系。初步的研究可以只考虑最低的 Landau 能级， 称为 LLL 近似。 如果我们取 A 的另一种规范 A y = − ( , 0, 0 ,) 结果会更直接一些，请参看教材。 作业：习题 6.2; 6.4