清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第五章 中心力场 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质

第五章中心力场 S5.1中心力场中粒子运动的一般性质 1.中心力场中 Schrodinger方程的约化 中心力场的势能函数与方向无关 ,(r=|F) 所以粒子的 Hamiltonian是(本章中将用代表质量,以区别磁量子数m,而且正代表约化质量) hr +(r) 2 不难证明,这时候我们有 ,]=[,L]=0, 所以力学量的完全集是{,L2,L,},也就是说,我们可以要求定态 Schrodinger方程的解同时是角动量 本征函数。 现在 Schrodinger方程是 h2 V2+V(r)v=Ev(r) 把V2换写到球坐标系: sin e sin 0 ae 6丿r2sin20aq2 我们发现 h2 a 所以方程也就是 h0(,O V(r)+ 现在y可以在球坐标系中分离变量(也就是说让v同时是角动量本征函数) =v(,6.q)=R(r)Ym(, 而我们有 L2y(O,q)=l(1+1)h2yn(0,9) 所以R(r)满足 E-(r) l(+1)h R=0 ride h2 2 它称为径向 Schrodinger方程。注意,这个方程与量子数m无关,所以能量对于m必定是简并的。有时 还再引入变换 R(r)=2,或者u(r)=rR(r) 则方程变为: d2a.2 E-( l(+1)h 0 d r h 它称为约化的径向方程。 2.约化径向方程与一维 Schrodinger方程的比较 从形式上看,约化径向方程与一维 Schrodinger方程非常相似,但是二者还是有重要的区别 (1)一般地说,维 Schrodinger方程的自变量区间是-∞<x<+∞,但是约化径向方程的自变量区 间是0≤r<+∞。既然r=0是边界,我们就必须在这里提出一定的边界条件。注意到(r)=rR(r)而

1 第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 1．中心力场中 Schrödinger 方程的约化 中心力场的势能函数与方向无关： V V r r r = = ( ), | | ( ) 所以粒子的 Hamiltonian 是（本章中将用  代表质量，以区别磁量子数 m ，而且  正代表约化质量） 2 2 ˆ ( ). 2 H V r  = −  + 不难证明，这时候我们有 2 ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] 0, H L H L = = z 所以力学量的完全集是 2 ˆ ˆ { , , } H L L z ，也就是说，我们可以要求定态 Schrödinger 方程的解同时是角动量 本征函数。 现在 Schrödinger 方程是： 2 2 ( ) ( ). 2 V r E r        −  + =   把 2  换写到球坐标系： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin , sin sin r r r r r r                 = + +              我们发现： 2 2 2 2 2 2 2 1 , 2 2 2 r L    r r r r     −  = − +       所以方程也就是 2 2 2 2 2 1 ( ) . 2 2 r V r L E r r r r             − + + =         现在  可以在球坐标系中分离变量（也就是说让  同时是角动量本征函数）： ( , , ) ( ) ( , ), lm       = = r R r Y 而我们有 2 2 ( , ) ( 1) ( , ), L Y l l Y lm lm     = + 所以 R(r) 满足 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( ) 0. 2 d d l l r E V r R r dr dr r         +     + − − =         它称为径向 Schrödinger 方程。注意，这个方程与量子数 m 无关，所以能量对于 m 必定是简并的。有时 还再引入变换 ( ) ( ) , u r R r r = 或者 u r r R r ( ) ( ), = 则方程变为： 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) 0. 2 d u l l E V r u dr r     + + − − =     它称为约化的径向方程。 2．约化径向方程与一维 Schrödinger 方程的比较 从形式上看，约化径向方程与一维 Schrödinger 方程非常相似，但是二者还是有重要的区别。 (1) 一般地说，一维 Schrödinger 方程的自变量区间是 −   + x ，但是约化径向方程的自变量区 间是 0  r  + 。既然 r = 0 是边界，我们就必须在这里提出一定的边界条件。注意到 u r r R r ( ) ( ) = 而

R(0)是有限的,所以l(r)的边界条件是 u(r) (2)u(r)所“感受”到的势能不只是V(r),而是 r()+4(+ ≡m() 它称为有效势能,其中 l(+1)h ≡V(r)= 2 称为离心势能 换一种方式来说,我们也可以把约化径向方程的自变量区间形式地延拓到-∞<r<+∞,同时取势 能为 (-∞<r≤0) (r)= lv=()(0<r<+∞) 那么结果是一样的,因为这时候必有 (r)≡0.(-∞<x≤0) 以及 (r)=0 *3.二体问题的分解 在经典物理中,一个二体系统(比如氢原子)的运动可以分解为质心运动和相对运动。在量子力学 里情况也是一样 假设两个粒子的坐标分别为和,质量分别为m和m2,那么引入 R=mi+.F=i- R称为质心坐标,产称为相对坐标,以及 m1+m2,H= m1+m2 M称为总质量,M称为约化质量,就不难证明 V hi vg 2H 2M 如果这两个粒子只有彼此之间的相互作用,就是说 V(石1,F2)=(-F2)=V(F) 那么系统的 Hamiltonian就可以改写 H V-~V2+V(,2) V:+V(r) 2M 同时波函数也可以分离变量 v(,)=v:(R(F 由于势能与R无关,所以质心是自由运动。如果我们就在质心系中考虑问题(即质心不动),那么就有 V2=0,(丙)=常数,所以只需要解相对运动的 Schrodinger 7程,它和单粒子的 Schrodinger 2M 方程是一样的,只不过其中的质量是约化质量。在本章以后各节我们就不再重复这个分解 作业:习题5.1;57

2 R(0) 是有限的，所以 u r( ) 的边界条件是 0 ( ) 0. r u r = = (2) u r( ) 所“感受”到的势能不只是 V r( ) ，而是 2 2 eff ( 1) ( ) ( ), 2 l l V r V r r + +  它称为有效势能，其中 2 2 2 2 c ( 1) ( ) , 2 2 l l L V r   r r +  = 称为离心势能。 换一种方式来说，我们也可以把约化径向方程的自变量区间形式地延拓到 −   + r ，同时取势 能为 eff , ( 0) ( ) ( ). (0 ) r V r V r r + −   =     + 那么结果是一样的，因为这时候必有 u r x ( ) 0. ( 0)  −   以及 0 ( ) 0. r u r → + = *3．二体问题的分解 在经典物理中，一个二体系统（比如氢原子）的运动可以分解为质心运动和相对运动。在量子力学 里情况也是一样。 假设两个粒子的坐标分别为 1 r 和 2 r ，质量分别为 m1 和 m2 ，那么引入 1 1 2 2 1 2 1 2 , , m r m r R r r r m m + = = − + R 称为质心坐标， r 称为相对坐标，以及 1 2 1 2 1 2 , , m m M m m m m = + =  + M 称为总质量，  称为约化质量，就不难证明： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . 2 2 2 2 R r m m M  −  −  = −  −  如果这两个粒子只有彼此之间的相互作用，就是说 1 2 1 2 V r r V r r V r ( , ) ( ) ( ), = − = 那么系统的 Hamiltonian 就可以改写： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ( , ) ( ), 2 2 2 2 H V r r V r R r m m M  = −  −  + = −  −  + 同时波函数也可以分离变量： 1 2 c r    ( , ) ( ) ( ). r r R r = 由于势能与 R 无关，所以质心是自由运动。如果我们就在质心系中考虑问题（即质心不动），那么就有 2 2 0 2 R M −  = ， c  ( ) R = 常数，所以只需要解相对运动的 Schrödinger 方程，它和单粒子的 Schrödinger 方程是一样的，只不过其中的质量是约化质量。在本章以后各节我们就不再重复这个分解。 作业：习题 5.1; 5.7