清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第六章 带电粒子在电磁场中的运动（6.1）带电粒子在电磁场中的 Schrodinger方程

第六章带电粒子在电磁场中的运动 §6.1带电粒子在电磁场中的 Schrodinger方程 1.带电粒子在电磁场中的经典 Hamiltonian 设粒子的质量为,电荷为q,电场强度为E,磁场强度为B,那么直接写出这个粒子的经典运动 方程是 q(E+F×B).(SI制 现在我们问:什么样的H(F,P)给出的正则运动方程是上面这个方程(P是粒子的“正则动量”)?这 个问题的答案是 HG,P)=(P-q4(,0)+qF,1 其中φ(F,1)是电磁场的标量势,AG,1)是矢量势,它们通过下述关系给出电场强度E和磁场强度B: E=-VO-a,A B=V×A 证明如下。正则运动方程是 aH P P aH H(r2,P)= P-g4)(P-q4)+q 其中=1,2,3=x,y,z,所以 (P-94), 也就是说 P=Ar+gA, 以及 P P-q4)0x4-0 再代入前式得 =P-q4,=q∑0,4-0,p- 0x4-0-04-204 写成矢量的样子就是 F=q(V,4)-(V)-Vp-0,4) 注意到矢量的微分运算法则 V(c·A)=(c.V)A+cx(V×A) 其中C是常矢量,我们就得到 q(-Vp-,A+P×(V×4)=q(E+产×B)I 在这里最值得注意的是 ur+q

1 第六章 带电粒子在电磁场中的运动 §6.1 带电粒子在电磁场中的 Schrödinger 方程 1．带电粒子在电磁场中的经典 Hamiltonian 设粒子的质量为  ，电荷为 q ，电场强度为  ，磁场强度为  ，那么直接写出这个粒子的经典运动 方程是： r q r =  +   ( ). （SI 制） 现在我们问：什么样的 H r P ( , ) 给出的正则运动方程是上面这个方程（ P 是粒子的“正则动量”）？这 个问题的答案是 ( ) 1 2 ( , ) ( , ) ( , ), 2 H r P P q A r t q r t   = − + 其中 ( , ) r t 是电磁场的标量势， A r t ( , ) 是矢量势，它们通过下述关系给出电场强度  和磁场强度  ： ,  = − −   tA  =  A. 证明如下。正则运动方程是 , i i H r P  =  , i i H P r  = −  而 3 1 1 ( , ) ( )( ) , 2 i i i i i i i H r P P q A P q A q  = = − − +  其中 i x y z = = 1, 2, 3 , , ，所以 1 ( ), i i i r P q A  = − 也就是说 , P r q A i i i = +  以及 3 1 1 ( ) , x i i x i x i P q P q A A  =      = −  −          再代入前式得 3 1 3 3 1 1 , x x x i x i x x i i x i x t x i i x i i r P q A q r A A q r A A r A    = = =   = − =  − −       =  − −  −         写成矢量的样子就是   r q r A r A A =   −  − −  ( ( ) ( ) , t ) 注意到矢量的微分运算法则   =   +    ( ) ( ) ( ), c A c A c A 其中 c 是常矢量，我们就得到   r q A r A q r = − −  +    =  +   ( t ( ) ( ). ) ▌ 在这里最值得注意的是 P r q A = + 

也就是说,粒子的正则动量是在机械动量山F=p之外再加上“电磁动量”qA。这是 Lorentz力的特 殊性质所决定的,因为磁场力与粒子的速度有关。事实上,上面那个 Hamiltonian也可以看作是 2产2+q 但是要记得 P-gA 2.带电粒子在电磁场中的 Schrodinger方程 从经典 Hamiltonian构造量子 Hamiltonian算符的规则是把正则动量替换为P≡-iV,所以带电粒 子在电磁场中的 Hamiltonian算符是 H qA)+qφ, Schrodinger方程是 qA)+qφH 当我们把(P-gA)2进一步展开的时候必须注意P和A是不对易的。事实上, P·A-A·P=-i 但是大家知道,电磁场的势函数可以再满足一些“规范条件”。对于矢势A经常提出“横波条件” V·A=0 在这样的条件下,P和A就是对易的了。这时 Schrodinger方程可以写为 i2=1产-9+F+q甲 2u 关于在这种情况下的几率守恒,我们不再做仔细的计算,结果是几率流密度仍然可以表为 J=(y平-平ⅳ”) 只不过现在 节=-(-ihV 3.经典的和量子的规范不变性 假设电磁场势小,A受到下面的“规范变换” p→p=φ-a1x, A→A'=A+V 其中x是任意的时空函数,那么电磁场强E,B是保持不变的 E→E"=-Vp-0,A=-V(中-01x)-0,(A+Vx)=-Vp-,A=E, B'=V×A =V×A+VxVy=V B 这称为电磁场的规范变换不变性,简称规范不变性。在经典粒子的运动方程中只出现电磁场强E,B,所 以它也是规范不变的。但是在量子力学的 Schrodinger方程中出现的是电磁场势,A本身,那么它也能 保持规范不变性吗?答案是肯定的,只要让波函数Y同时受到变换 aa (eqxh)=eqx小(ih ayp gax

2 也就是说，粒子的正则动量是在机械动量   r v = 之外再加上“电磁动量” qA 。这是 Lorentz 力的特 殊性质所决定的，因为磁场力与粒子的速度有关。事实上，上面那个 Hamiltonian 也可以看作是 2 , 2 H r q  = +  但是要记得  r P q A = − . 2．带电粒子在电磁场中的 Schrödinger 方程 从经典 Hamiltonian 构造量子 Hamiltonian 算符的规则是把正则动量替换为 ˆ P  − i ，所以带电粒 子在电磁场中的 Hamiltonian 算符是 1 ˆ 2 ˆ ( ) , 2 H P q A q  = − + Schrödinger 方程是 1 ˆ 2 i ( ) . 2 P q A q t      = − +       当我们把 ˆ 2 ( ) P q A − 进一步展开的时候必须注意 ˆ P 和 A 是不对易的。事实上， ˆ ˆ P A A P A  −  = −   i ( ). 但是大家知道，电磁场的势函数可以再满足一些“规范条件”。对于矢势 A 经常提出“横波条件”   = A 0, 在这样的条件下， ˆ P 和 A 就是对易的了。这时 Schrödinger 方程可以写为 2 1 ˆ 2 2 ˆ i . 2 2 q q P A P A q t        = −  + +       关于在这种情况下的几率守恒，我们不再做仔细的计算，结果是几率流密度仍然可以表为 1 ˆ ˆ ( ), 2 J v v   =   −   只不过现在 1 ˆv q A ( i ).  = −  − 3．经典的和量子的规范不变性 假设电磁场势 ，A 受到下面的“规范变换”： ,    t → = −   A A A → = +   , 其中  是任意的时空函数，那么电磁场强  , 是保持不变的： ( ) ( ) ,  →  = − −  = − −  −  +  = − −  =          t t t t A A A  →  =   =   +    =   =    A A A  . 这称为电磁场的规范变换不变性，简称规范不变性。在经典粒子的运动方程中只出现电磁场强  , ，所 以它也是规范不变的。但是在量子力学的 Schrödinger 方程中出现的是电磁场势 ，A 本身，那么它也能 保持规范不变性吗？答案是肯定的，只要让波函数  同时受到变换 i / e . q  →  =   证明： i / i / i i ( ) i , e e q q t q t t t          =  = −         

(P-gA)p=(-ihV-qA-gVx(eqgxInp "(ihV+gVx-qA-gVx=e qXl(P-q A)Y gop=e(go-go,xo). 所以仍然有 y (P-gA)+gg 这称为量子的规范不变性。 自然地,有人就会问:既然电磁场势p,A直接出现在 Schrodinger方程里,这是不是意味着在量子 力学的意义上ψA是可以直接观察的?或者说,即使电磁场强E,B保持不变,只要电磁场势φ,A有改 变,就有可观察的物理效应?对这个问题的回答是:不完全是这样。在量子力学里可观察的是p,A的“不 可积相因子”,它也是一个规范不变量,然而又不同于场强E,B。这个结论已经在AB( Aharonov-Bohm) 效应的观察中得到了实验的证实。 作业:习题6.1

3 i / i / i / ˆ ( ) ( i )( ) ˆ ( i ) ( ) , e e e q q q P q A q A q q q A q P q A       −  = −  − −     = −  +  − −   = −  i / e ( ), q t q q q        =  −   所以仍然有 1 ˆ 2 i ( ) . 2 P q A q t      = − +          ▌ 这称为量子的规范不变性。 自然地，有人就会问：既然电磁场势 ，A 直接出现在 Schrödinger 方程里，这是不是意味着在量子 力学的意义上 ，A 是可以直接观察的？或者说，即使电磁场强  , 保持不变，只要电磁场势 ，A 有改 变，就有可观察的物理效应？对这个问题的回答是：不完全是这样。在量子力学里可观察的是 ，A 的“不 可积相因子”，它也是一个规范不变量，然而又不同于场强  , 。这个结论已经在 AB（Aharonov-Bohm） 效应的观察中得到了实验的证实。 作业：习题 6.1