清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第九章 电子自旋（9.2）电子总角动量和自旋轨道耦合

§92电子总角动量和自旋轨道耦合 轨道角动量和自旋角动量的合成 实际的电子既有轨道角动量L也有自旋角动量S,这二者的矢量和称为它的总角动量J: L+ 对照一般的规则,现在=l=0,1,2,…,/2=1/2,所以 但是对于/=0只有j= 注意:j一定是半整数。 那么总角动量的本征态如何构成?这里就要用到方=l,2=1/2的CG系数。略去有关的计算,这 些CG系数C(1=l,2=(1/2,广m=m-m2,m2,m)如下表(分别对于m2=±12和j=±(1/2)用 m表出)。 m1=+1/2 m,=-1/2 J=J1+ +(1/2) (1/2) 2i1+1 +1 J=J1 (1/2) m+(1/2) 2j1+1 21+1 所以电子的总角动量为j=l+(1/2)的二分量波函数是 (1/2) (,q) 2l+1 +(1/2)m -m1+(1/2) 21+1,m+12)(6,g) 其中为明确起见把总角动量的投影量子数记为m,注意它是半整数。这个波函数也可以用,m表为 (,9) J -my1/2m+2(6,g) 类似地,j=l-(1/2)的二分量波函数是 +(1/2) 2l+1 0/2O,9) (1/2,m +m1+(1/2) 1.my+(121(,9) (,q) +2(+m+1+y) 2.电子的自旋轨道耦合 由于电子带有自旋磁矩,所以它在电场中运动时会产生一种新的相互作用。这种相互作用的基本机 理可以这样来理解:以氢原子为例,在与电子一起运动的参照系中来看,带电的原子核是在围绕电子运 动,因而要在电子处产生磁场,这个磁场就和电子的自旋磁矩发生了相互作用。这种相互作用称为电子 的自旋轨道耦合。它在多电子系统中的推广称为LS耦合,或Rusl- Saunders耦合。由于磁矩M与磁 场B的相互作用能是-B·M,容易想见自旋轨道耦合的大小应该和LS成正比。严格处理这个问题 需要用电子的相对论性量子力学方程,即 Dirac方程。对这个方程做非相对论(v≤C)近似,给出了电

1 §9.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合 1. 轨道角动量和自旋角动量的合成 实际的电子既有轨道角动量 ˆ L 也有自旋角动量 ˆ S ，这二者的矢量和称为它的总角动量 ˆ J ： . ˆ ˆ ˆ J L S    = + 对照一般的规则，现在 1 2 j l j = = = 0, 1, 2, , 1/ 2 ，所以 2 1 j = l + 或 2 1 l − , 但是对于 l = 0 只有 2 1 j = . 注意： j 一定是半整数。 那么总角动量的本征态如何构成？这里就要用到 1 2 j l j = = , 1/ 2 的 CG 系数。略去有关的计算，这 些CG系数 1 2 1 2 2 C j l j j m m m m m ( , (1/ 2), ; , , ) = = = − 如下表（分别对于 2 m = 1/ 2 和 1 j j =  (1/ 2) 用 1 j m, 表出）。 2 m = +1/ 2 2 m = −1/ 2 1 1 2 j j = + 1 1 (1/ 2) 2 1 j m j + + + 1 1 (1/ 2) 2 1 j m j − + + 1 1 2 j j = − 1 1 (1/ 2) 2 1 j m j − + − + 1 1 (1/ 2) 2 1 j m j + + + 所以电子的总角动量为 j l = + (1/ 2) 的二分量波函数是 , (1/ 2) (1/ 2), , (1/ 2) (1/ 2) ( , ) 2 1 , (1/ 2) ( , ) 2 1 j j j j l m l m j l m l m Y l l m Y l      − + +   + +     + =   − +     + 其中为明确起见把总角动量的投影量子数记为 mj ，注意它是半整数。这个波函数也可以用 , j j m 表为 (1/ 2), (1/ 2) (1/ 2), (1/ 2) ( , ) 1 1 . 2 ( , ) 2 j j j j j m ljm j j m j m Y j l j j m Y      − − − +   +   = = +       −     类似地， j l = − (1/ 2) 的二分量波函数是 , (1/ 2) (1/ 2), , (1/ 2) (1/ 2) ( , ) 2 1 , (1/ 2) ( , ) 2 1 j j j j l m l m j l m l m Y l l m Y l      − − +   − +  −    + =   + +     + 或者 (1/ 2), (1/ 2) (1/ 2), (1/ 2) 1 ( , ) 1 1 . 2 2 1 ( , ) 2 j j j j j m ljm j j m j m Y j l j j m Y      + − + +   − − +   = = −     +   + +     2. 电子的自旋-轨道耦合 由于电子带有自旋磁矩，所以它在电场中运动时会产生一种新的相互作用。这种相互作用的基本机 理可以这样来理解：以氢原子为例，在与电子一起运动的参照系中来看，带电的原子核是在围绕电子运 动，因而要在电子处产生磁场，这个磁场就和电子的自旋磁矩发生了相互作用。这种相互作用称为电子 的自旋-轨道耦合。它在多电子系统中的推广称为 LS 耦合，或 Russell-Saunders 耦合。由于磁矩 M 与磁 场  的相互作用能是 −  M ，容易想见自旋-轨道耦合的大小应该和 L S 成正比。严格处理这个问题 需要用电子的相对论性量子力学方程，即 Dirac 方程。对这个方程做非相对论 ( ) v c 近似，给出了电

子自旋轨道耦合 Hamiltonian的如下表达式: ieh H 134y2 G·(VφxV) 其中φ是电场的标量势。由于电子的势能是V=-eφ,自旋是S=(h/2)G,动量是p=-iV,所以 它也可以写为 (V×p) 如果电子是处在中心力场中,那么V=(r),VV=(d/t)(/r),代入上式就得到 自s2c2tL.s=5().s 1 1 dv 这一项应该加在原先的(未考虑电子自旋的) Hamitonian中。 同时出现的问题是:现在电子的轨道角动量和自旋角动量都不再守恒(L,§都和LS不对易) 那么应该如何表征电子的状态?我们可以证明:电子的总角动量J=L+S和L·S是对易的,所以它是 守恒量。证明如下。 L.S=∑[,LS小=∑[4,L1S=∑5kLS S,L.S]=∑[S,LSl=∑LS,S]=i25kl,S 所以 ∑k(LS+LS)=0.L 实际上,电子的总角动量本征态也就是LS的本征态。总角动量本征态是2,J2,元的同时本征态,而 所以 2-L2-S2 4m=(+1)-l(+1)-(3/4) j=l+(1/2)时, m 当j=l-(1/2)时, 4m·j 这些结果是很有用的。 作业:习题8.7

2 子自旋-轨道耦合 Hamiltonian 的如下表达式： 2 2 2 i ˆ ( ), 4 LS e H c    =    其中  是电场的标量势。由于电子的势能是 V e = −  ，自旋是 S = ( / 2) ，动量是 ˆ p = −  i ，所以 它也可以写为 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ( ) , 2 H V p S LS  c =    如果电子是处在中心力场中，那么 V V r V dV dr r r =  = ( ), ( / )( / ) ，代入上式就得到 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) . 2 LS dV H L S r L S c r dr   =    这一项应该加在原先的（未考虑电子自旋的）Hamitonian 中。 同时出现的问题是：现在电子的轨道角动量和自旋角动量都不再守恒（ ˆ ˆ L S , 都和 ˆ ˆ L S 不对易）， 那么应该如何表征电子的状态？我们可以证明：电子的总角动量 ˆ ˆ ˆ J L S = + 和 ˆ ˆ L S 是对易的，所以它是 守恒量。证明如下。 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] i , i i j j i j j ijk k j j j j L L S L L S L L S L S  = = =    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] i , i i j j j i j ijk j k j j j S L S S L S L S S L S  = = =    所以 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] i ( ) 0. i i ijk k j j k j L S L S L S L S +  = + =  ▌ 实际上，电子的总角动量本征态也就是 ˆ ˆ L S 的本征态。总角动量本征态是 2 2 ˆ , , L J Jz 的同时本征态，而 ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ J L S L S L S = + = + +  2 , 所以 ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ ( 1) ( 1) (3/ 4) . 2 2 j j j ljm ljm ljm J L S j j l l L S      − − + − + −  = =       当 j l = + (1/ 2) 时， ( ) ˆ ˆ 2 1 , 2 2 j j lj m lj m l L S j l      = = +     当 j l = − (1/ 2) 时， ( ) ˆ ˆ 1 1 2 . 2 2 j j ljm ljm l L S j l   +    = − = −     这些结果是很有用的。 作业：习题 8.7