《量子力学习题》态和力学量的表象

五态和力学量的表象 +ea 1、电子在均匀电场E=中运动,其哈密顿算符为2试判 断下列力学量算符中,哪些算符与H对易: (1)x;(2)y;(3)z;(4)Px;(5)P;(6)P (7)P2;(8)L;(9)y;(10)L;(1)i, 2、在D2-L有确定值的状态中,试判断下列力学量哪些具有确定值: (1) (2) (3) (5) (6)12;(7)E+;(8)2+1;(9)E+C; 3、求粒子处在Ym(,)时,L和L的平均值 4、若A、B都是厄米算符,且AB-BA=C,试证明: (△4)-(4AB)2c 5、一维谱振子处在基态 丌 求(Ax)2(△P)2=? 6、一维运动粒子处在 0 x0 (x) 7、粒子处在状态 V2zc expi pox-4cI 4c2,式中c为常量,求粒子 的动量平均值,并计算(Ax)2(4p)2=? 8、用测不准关系估计基态氢原子的能量。 9、已知体系的哈密算符与某一力学量B在能量表象中的矩阵形式 为 100 001 010 式中w和b均为实常数,问:

五.态和力学量的表象 1、 电子 在均匀 电场 E k   =  中运 动，其 哈密顿 算符为 e z p H   = + 2 ˆ 2 试 判 断 下 列 力 学量算符 中，哪些算 符与 H ˆ 对易： （ 1） x ；（2） y ；（3） z ；（ 4） x p ˆ ；（5） y p ˆ ；（6） z p ˆ ； （ 7） 2 p ˆ ；（8） Lx ˆ ； （ 9） Ly ˆ ；（ 10） Lz ˆ ；（ 11） 2 L ˆ 。 2、 在 L − Lz 2 有确定值的状态中，试判断下列力学量哪些具有确定值： （ 1） Lx ˆ ； （ 2） Ly ˆ ； （ 3） Lz ˆ ； （ 4） L x 2ˆ ； （ 5） L y 2ˆ ； （ 6） L z 2ˆ ； （ 7） 2 2 ˆ ˆ Lx + Ly ； （ 8） 2 2 ˆ ˆ Ly + Lz ； （ 9） 2 2 ˆ ˆ Lz + Lx ； （ 10） 2 L ˆ 。 3、 求 粒 子 处在 (,) Ylm 时 ， Lx ˆ 和 Ly ˆ 的平均值。 4、 若 A、 B 都是 厄米算符， 且 AB BA ic ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ − = ， 试 证 明： 4 ( ) ( ) 2 2 2 c A  B  。 5、 一 维 谐 振子处 在基态 ( ) , 2 2 2 1 x x e −  =     求 ( ) ( ) ? 2 2 x  p = 6、 一 维 运 动粒子 处在     = − 0 ( ) x Axe x    0  x x o 态中，其中   0, 求 ： ( ) ( ) ? 2 2 x  p =       =  + −   ( 0) ! : 1 0 a a n x e dx n 提示 n ax 7、粒子处在 状态 ] 4 exp[ 2 1 ( ) 2 0 2 c x p x i c x = −    ，式中 c 为常量，求粒子 的 动 量 平 均值，并 计算 ( ) ( ) ? 2 2 x  p = 8、 用 测 不 准关系 估计基态氢 原子的能量 。 9、 已知体 系的哈 密算符 H ˆ 与 某一力 学量 B ˆ 在 能量 表象中 的矩阵 形式 为 ：          − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 H w           = 0 1 0 0 0 1 2 0 0 B b 式 中 w 和 b 均为 实常数，问 ：

(1)H和B是否厄米矩阵? (2)H和B是否对易? (3)求称荷B的本征值及相应的本征函数; (1)称荷B的本征函数是否也是H的本征函数 10、设已知在和的共同表象中,L和的矩阵表示分别为 0 L 101 加i0 010 (0i0 求它们的本征值和归一化的本征函数 11、自旋算符S和S的矩阵形式为: s=2(01 h(0 2(i0 求它们的本征值和归一化的本征函数

（ 1） H 和 B 是否 厄米矩阵 ？ （ 2） H 和 B 是否 对易？ （ 3）求称荷 B ˆ 的本征值 及相应的本 征函数； （ 1） 称 荷 B ˆ 的 本 征函数是 否也是 H ˆ 的本 征函数。 10、设已知在 2 L ˆ 和 Lz ˆ 的 共 同 表 象中 ， Lx ˆ 和 Ly ˆ 的 矩 阵 表 示分别为 ：           = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 Lx  ，           − − = 0 0 0 0 0 2 2 i i i i Ly  求 它 们 的 本征值和 归一化的本 征函数。 11、自旋算符 x s ˆ 和 y s ˆ 的 矩 阵 形 式为 ：         = 1 0 0 1 2  x s ，         − = 0 0 2 i i s y  求 它 们 的 本征值和 归一化的本 征函数