《量子力学习题》波函数与薛定谔方程

二波函数与薛定谔方程 1、设粒子的归一化波函数为o(x,y,2),求 (1)在(xx+d)范围内找到粒子的几率 (2)在(,2)范围内找到粒子的几率; (3)在(xx2)及(,2)范围内找到粒子的几率 2、设粒子的归一化波函数为(,9),求 1)在球壳(r,+如)内找到粒子的几率; (2)在(,9)方向的立体角内找到粒子的几率 3、下列波函数所描述的状态是否为定态?为什么? (1)平(x,D)=v(x)e v2(x)e )≠v2(x) (2)9(xD)=(x)=+w(x)=(E1≠E2) (3)43(x, 0)=v()e +y(x)e 4、对于一维粒子,设 v(x9)=2m,求(x) 5、证明在定态中,几率密度和几率流密度均与时间无关。 6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。 (1)v1(x)=Ae.。 (2)W2(x)=A 从所得结果证明:W(x)表示沿x轴正方向传播的平面波 v2(x)表示沿x轴反向传播的平面波 、由下列两个定态波函数计算几率流密度 (D)9()A (2) 2()=e 从所得结果证明()表示向外传播的球面波,2()表示向内传播的球面 波(即向原点) 8、求波函数 + a x

二.波函数与薛定谔方程 1、设粒子的归一化波函数为 (x, y,z) ，求 （1）在 (x, x + dx) 范围内找到粒子的几率； （2）在 ( , ) 1 2 y y 范围内找到粒子的几率； （3）在 ( , ) 1 2 x x 及 ( , ) 1 2 z z 范围内找到粒子的几率。 2、设粒子的归一化波函数为 (r, ,) ，求： （1）在球壳 (r,r + dr) 内找到粒子的几率； （2）在 ( ,) 方向的立体角 d 内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？ （1） Et i Et ix i ix x t x e x e   − − −  ( , ) = ( ) + ( ) 1 1  2  ( ) ( ) 1 2  x  x （2） E t i E t i x t x e x e 1 2 ( , ) ( ) ( ) 2   − −  = + ( ) E1  E2 （3） Et i Et i x t x e x e   ( , ) ( ) ( ) 3 = + − 4、对于一维粒子，设 p x i o x e    2 1 ( ,0) = ，求 (x,t)。 5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。 6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。 （1） Et i ikt x Ae e  − − ( ) =  1 （2） Et i ikt x Ae e  − − ( ) =   2 从所得结果证明： ( ) 1  x 表示沿 x 轴正方向传播的平面波。 ( ) 2  x 表示沿 x 轴反向传播的平面波。 7、由下列两个定态波函数计算几率流密度 （1） ikr e r A 1 (r) = ； （2） ikr e r A r −  2 ( ) = 从所得结果证明 ( ) 1  r 表示向外传播的球面波， ( ) 2  r 表示向内传播的球面 波（即向原点） 8、求波函数      + = 0 ( ) 2 sin ( ) x a a n A x n   x a x a  

的归一化常数A。 u(x) 9一粒子在一维势场 0 ∞时,这个几率的极限是多少?这个结果与经典情况比较,说 明了什么问题? 1l、一粒子在一维势场中运动,势能对原点对称U(x)=U(-x),证明粒子的定 态波函数具有确定的宇称。 12、一粒子在势场 u(x) x≥0 中运动,试利用谐振子的级数解求此粒子的能量值 13、一电荷为e的谐振子受恒定的弱电场E作用,电场沿正x方向,求该粒子 的能量及相应的波函数。 14、对于一维定态谐振子的第一激发态卯(x),求 (1)振子几率最大的位置; (2)经典振幅A 15、设0(x)=4x(a-x),其中0≤x≤a,求归一化常数A,并问在何处找到粒 子的几率最大? 16、若粒子只在一维空间中运动,它的状态可用波函数 p(x,) 0,求 (1)归一化的函数;

的归一化常数 A。 9、一粒子在一维势场      = 0 0 ( ) u0 u x x a x a   中运动，求束缚态 (0 )  E  u0 的能级所满足的方程。 10、若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为 n ，求： （1）距势阱内左壁 4 1 宽度内发现粒子的几率； （2） n 取向值时，在此区域内找到粒子的几率最大？ （3）当 n → 时，这个几率的极限是多少？这个结果与经典情况比较，说 明了什么问题？ 11、一粒子在一维势场中运动，势能对原点对称 U(x) = U(−x) ，证明粒子的定 态波函数具有确定的宇称。 12、一粒子在势场      = 2 2 1 ( ) kx u x 0 0   x x 中运动，试利用谐振子的级数解求此粒子的能量值。 13、一电荷为 e 的谐振子受恒定的弱电场  作用，电场沿正 x 方向，求该粒子 的能量及相应的波函数。 14、对于一维定态谐振子的第一激发态 ( ) 1  x ，求 （1）振子几率最大的位置； （2）经典振幅 A。 15、设 (x) = Ax(a − x) ，其中 0  x  a ，求归一化常数 A，并问在何处找到粒 子的几率最大？ 16、若粒子只在一维空间中运动，它的状态可用波函数      = −  Et h i x e a A x t  sin 0 ( , ) x x a x a     0, 0 来描述，式中 E 和 a 分别为确定的常数，而 A 是任意常数，求： （1）归一化的波函数； （2）几率密度（即几率分布函数） w(x,t) ； （3）在何处找到粒子的几率最大？ （4） 2 x, x 的值。 17、一维运动的粒子处在     = − 0 ( ) x Axe x   0 0   x x 的状态，其中 x  0 ，求 （1）归一化的函数；

(2)几率分布函数w(x); (3)在何处找到粒子的几率最大? (4)xx的值 提示:xear=l qn+4>0 --Ox 18、一维运动的粒子处在W(x)=Ae2的状态,其a>0 求:(1)归一化波函数; 2)几率分布函数v(x); (3)在何处找到粒子的几率最大? (4)x,x的值。 提示:「x2ea=135(2n-1)/z 19、试一般证明:对于任何势垒,关系式R+D=1自动满足,其中R为反射系数, D为透射系数。 20、当无外场时,在金属中的电子的势能可以近似视为 0x≤0(在金属内) x)-20x>0(在金属外) 求电子在均匀外电场作用下,穿过金属表面的透射系数

（2）几率分布函数 w(x) ； （3）在何处找到粒子的几率最大？ （4） 2 x, x 的值。       =    + − 0 1 , 0 ! : a a n x e dx n 提示 n ax 18、一维运动的粒子处在 2 2 2 1 ( ) x x Ae   − = 的状态，其   0 求：（1）归一化波函数； （2）几率分布函数 w(x) ； （3）在何处找到粒子的几率最大？ （4） 2 x, x 的值。         − = + −   a a n x e dx n n n ax  1 2 0 2 1 3 5 (2 1) : 2  提示 19、试一般证明：对于任何势垒，关系式 R+D=1 自动满足，其中 R 为反射系数， D 为透射系数。 20、当无外场时，在金属中的电子的势能可以近似视为    = 0 0 ( ) u u x 0 0   x x ( ) ( ) 在金属外 在金属内 求电子在均匀外电场作用下，穿过金属表面的透射系数