清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第二章 一维势场中的粒子（2.4）线性谐振子

§24线性谐振子 关于谐振子的研究,无论在理论上还是应用上都很重要 1.方程的化简 线性谐振子的势能函数是 其中O是谐振子的固有圆频率。所以 Schrodinger方程是: d-y 2me mo h2 h2 在方程中做如下的无量纲化变换: ax,a E 则方程变成 +(-5(5)=0 观察ξ→±∞的情形,方程近似为: 它有近似解 (5)~e 但是e*512应该舍去。再进行变换 y(5)=eH(5) 可得关于H(5)的如下方程: d -h dh A-1)H=0. 2. Hermite多项式 可以用级数法求解H(3)的方程,结果发现:只要H()是“真”无穷级数,那么在x→±∞的时 候H()就→e,仍然使v(2)发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化” 为多项式,而这就要求λ只能取一些特殊的值 设要求H(5是ξ的n次多项式,那么就必须让 元=2n+1,n=0,1,2,3, 这样,我们首先得到了能量本征值: E ho,n=01,23 其次,现在H()的方程成为 d 2h 2nH=0 不难验证下面的函数(多项式)正满足这个方程 它称为n次 Hermite多项式。也可以利用下面的生成函数来生成 Hermitian多项式:

1 §2.4 线性谐振子 关于谐振子的研究，无论在理论上还是应用上都很重要。 1. 方程的化简 线性谐振子的势能函数是： 1 2 2 ( ) , 2 V x m x =  其中  是谐振子的固有圆频率。所以 Schrödinger 方程是： 2 2 2 2 2 2 2 2 0. d mE m x dx      + − =     在方程中做如下的无量纲化变换： , m m x x        =  =       2 , E   = 则方程变成 d d 2 2 2 0   + ( −  )() = . 观察  →   的情形，方程近似为： d d 2 2  2    . 它有近似解 2 / 2 ( ) ~ e .     但是 2 /2 e + 应该舍去。再进行变换： 2 / 2 ( ) e ( ), H     − = 可得关于 H() 的如下方程： d H d dH d H 2 2 2 1 0    − + ( − ) = . 2. Hermite 多项式 可以用级数法求解 H() 的方程，结果发现：只要 H() 是“真”无穷级数，那么在 x →   的时 候 H() 就 2 e →  ，仍然使 () 发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化” 为多项式，而这就要求  只能取一些特殊的值。 设要求 H() 是  的 n 次多项式，那么就必须让  = 2n +1, n = 0,1, 2,3,  这样，我们首先得到了能量本征值：  , 0,1, 2,3, 2 1  =      En = n +  n 其次，现在 H() 的方程成为： d H d dH d nH n n n 2 2 2 2 0    − + = . 不难验证下面的函数（多项式）正满足这个方程： 2 2 ( ) ( 1) e e . n n n n d H d     − = − 它称为 n 次 Hermite 多项式。也可以利用下面的生成函数来生成 Hermitian 多项式：

n! 头三个 Hermite多项式是 H2(5)=4 般地说,n次 Hermite多项式的奇偶性是 Hn(-5)=(-1)”H2() 3.线性谐振子的能级和波函数 我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是: En=n+ho,n=0,1,2,3, 对应的波函数是: wn(x)=N, H,(S)e"/2=N, H,(ax)e a'x/.(a=moIn) N,是归一化常数,使得vn(x)满足 ∫=1v1(x)2k=1 利用 Hermite多项式的正交性 H,(S)H,(Se-dE=vr2"n!& 可得 2"nl 所以最低的三个谐振子能级的波函数是 /2 v1(x) 2(x)=1 (2a 2-1)e 讨论:(1)能级是等间隔的,(2)零点能是E=h/2,(3)能级的宇称是偶奇相间,基态是偶 宇称,(4)v(x)有n个节点 (提问:请你猜一猜,在势阱(x)∝|x|中,当能量升高时,能级间隔的变化趋势如何?或者说, 如果En∝m,那么y≈?) 大量子数的态逼近于经典振子”的问题现在有了新的观点:“相干态”。 作业:习题2.7,2.8,2.9,2.11

2 2 2 0 ( ) e . ! s s n n n H s n    − + = =  头三个 Hermite 多项式是： H H H 0 1 2 2 1 2 4 2 ( ) , ( ) , ( ) .      = = = − 一般地说，n 次 Hermite 多项式的奇偶性是 ( ) ( 1) ( ). n H H n n − = −   3. 线性谐振子的能级和波函数 我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：  , 0,1, 2,3, 2 1  =      En = n +  n 对应的波函数是： ( ) 2 2 2 / 2 / 2 ( ) ( )e ( )e . / x n n n n n x N H N H x m        − − = = = Nn 是归一化常数，使得 (x)  n 满足 2 | ( ) | 1. n  x dx + − =  利用 Hermite 多项式的正交性 2 ( ) ( )e 2 ! , n H H d n m n mn       + − − =  可得 . 2 n! Nn n   = 所以最低的三个谐振子能级的波函数是 2 2 / 2 0 4 ( ) e , x x     − = 2 2 / 2 1 4 2 ( ) e , x x x      − = 2 2 2 2 / 2 2 4 1 ( ) (2 1) e . 2 x x x      − = − 讨论：（1）能级是等间隔的，（2）零点能是 0 E = /2 ，（3）能级的宇称是偶奇相间，基态是偶 宇称，（4）  n (x) 有 n 个节点。 （提问：请你猜一猜，在势阱 V x x ( ) | |  中，当能量升高时，能级间隔的变化趋势如何？或者说， 如果 E n n   ，那么   ? ） “大量子数的态逼近于经典振子”的问题现在有了新的观点：“相干态”。 作业：习题 2.7; 2.8; 2.9; 2.11