西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程参考书目（重点难点100讲）第6讲 无穷小、无穷大、有界量、无界量

第6讲无穷小无穷大、有界量、无界量 19 第6讲元穷小无穷大、有界量、无界量 、无穷小量 以0为极限的量称为无穷小量(简称无穷小). limx=0台任给E>0,有一个N,当n>N时,恒有|x。|0,有一个δ>0,当00,有一个X>0,当|x|>X时,恒有|f(x)|0,找0>0使|2-1|0,取δ=min{1,log2(1+e),-log2(1-e)},当00,有一个N,当n>N时,恒有|xn|>M imf(x)=∞台任给M>0,有一个δ>0,当0M limf(x)=∞台任给M>0,有一个X>0,当|x>X时,恒有|f(x)|>M 例2根据定义证明:y=1t2x,当x→0时为无穷大 证任给M>0找0>0做土>M丽+2>1-2>M这里,限 制|z|0,有=min +2}=M+2,当0<x|<时,恒有 + 2x M lim 注意imf(x)=∞或limf(x)=∞,此时∫(x)的极限是不存在的.为了反映

高等数学重点难点100讲 f(x)|无限增大这种性态,也说成f(x)的极限为无穷大 例3根据定义证明y=2-9 (1)当x→3时为无穷小;(2)当x→∞时为无穷大;(3)当x→0时,y→-3 ①)对任给的>0要÷-=310,要使 9=|x-3|>M由于|x-3≥|x|-3(这里限 +3 制|x|>3)所以只要|x|-3>M,即|x|>M+3.于是取X=M+3,当|x|>X时, 恒有 >M所以mx+3=0即当x→时,y=x+3为无穷大 (3)对任给的e>0,要使 9 (-3)|=|x-3+3|=|x|0,使对一切x∈X,恒有 f(x)≤M 则称∫(x)是区间X上的有界函数 我们知道∫(x)=sinx,cosx, arctan, arccot,sgnx,[x],D(x)(狄里克雷函数), 1+z都是(-∞,+∞)上的有界函数 敷列{+121.(-1y-2),2都是有界数列 四、无界变量 设y=f(x)在区间X上有定义,如果对于任意指定的M>0,总有一个x∈X,使 f(x)|>M则称f(x)是区间X上的无界函数. 我们已知:∫(x)=1nx在(0,+∞上无界,∫(x)=x,e,e”在(-∞,+∞)无 界,(x)=1anx在(-22)上无界数列(2))是无界数列 五、无穷小、无穷大、有界量、无界量之同的联系与区别 1.无穷小与有界量的关系定理 定理无穷小乘以有界变量仍为无穷小 例4求下列极限:(1) limrsin1; arctan (2)limx

第6讲无穷小无穷大有界量、无界量 21 解(1)∵:x→0(x→0,/ain1≤1,x∈( 0)U(0,+∞) limousin 0 arctan (2) 0,(x→∞),| arctan IN 的xn均有|xn|>M;若{xn}无界仅需要存在一个n1,使|xn|>M(实际上由于M的任意 性也一定存在无穷多个但非所有的n)即可 例9证明数列{xy‘‘1)"}无界,但不是无穷大

22 高等数学管点难点100讲 证数列{xn}有一子列{x2}=((2)(-1)}=(2k} 当k→∞时,x→∞,所以{x}无界数列{xn}又有一子列 )}={(2k-1)-1} 2k一 当k→∞时 →0,所以{xn}不是无穷大 事实上,由定义不难推出下面两个重要结论: (2)数列{x}为无穷大台{xn}的任何子列都以∞为极限 (3)数列{xn}无界台存在无穷大子列 上述结论告诉我们:证明数列{xn}不是无穷大的有效方法是找出一个收敛子列{xn,}, 即limx=a;证明数列{x}无界的有效方法是找出它的一个无穷大子列{x,},即limx,= ∞(如例9) 例10(单选题)函数f(x)= ESIn() (A)当x 时为无穷大;(B)在(-∞,+∞)内有界; (C)在(-∞,+∞)内无界;(D)当x→∞时有有限极限 解当x取数列{k+|k=0,土1,2,…}→∞时,函数 f(x+n)=(kx十)sin(是丌十)=(-1)·(kx+ 所以f(x)在(-∞,+∞)内无界,B被排除,同时D也被排除 又因为当x取数列{|k=0,士1,2,…}→∞时,函数∫(kx)= krsinkm=0,所以当 x→∞时,f(x)非无穷大,故选C