西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程参考书目（重点难点100讲）第26讲 参考方程所确定函数的求导法

高等数学重点难点100讲 第26讲参教方程所确定函数的求导法 设0,40)是可导函数,且甲(≠0则力程组{y pr (a≤t≤B)确定了一个 sl(r) 函数y=yx),它的导数y(x)存在且有=2 s(r) B(e) x acost,d 例1已知 求 解由公式得 a(sint) a·3sin2 t. cost =—tant 3cos2t·(-sint) 例2已知炮弹运动轨迹的参数方程为 t y= U2t 求炮弹在任一时刻的运动速度的大小 解炮弹在任一时刻的水平分速度及铅直分速度分别为 d y 故炮弹在任一时刻的运动速度的大小为 U(t) x"2+y2=√ⅵ+(v2-gt)2 求曲线{2+(1- 在t=0处的切线方程 te+y+1=0 解本题是隐函数形式的参数方程决定的函数注意它的求导过程当t=0时,由原 方程组解得x=0,y=-1,即t=0对应于曲线上的点M(0,-1).将方程x+t(1-t) 0两边对t求导,得 d. dt +1-2t=0,或 将方程te”+y+1=0两边对t求导,得 dt dt 0,或 dt y (1-2)(1+tey) 1-2)(1+te)|l- 曲线在M处的切线方程为y+1=1(x-0),即y=王-1 例4已知曲线的极坐标方程为r=20s2,求当=时曲线的切线的直角坐标系方 程 解本题涉及极坐标与直角坐标系方程的转换,此时曲线的直角坐标系方程为 rcosθ=2cos28, rsin8= 2cosOsin8 sin 20

第26讲参数方程所确定函数的求导法 85 相应于一3的点的坐标为(l,),而 出=岁 (sin20) cos A(- sing)- 28 -cot20 d cot dxe-3 3x=(-= √3_√3 所以切线方程为y2-3(x-2/,即6-23x-2√3=0 2t +lt l 例5设 522+ttl 求 解由于函数表达式中含有|t|,所以应首先用分段函数予以表达 当t>0时 3t. 当t0时,是=2一 2t=6t; 当t<0时 d (t) =2t 当t=0时,用定义求导 f'+(0)= lim 4y 9(4t) 3(Mt) lim (4r )2 y f-(0)=im.ax4(4)0,故dr/-。=0. 求由参数方程所确定的函数的二阶导数时,初学者往往把公式错误地记成=x…,或 错写成出=里二望,我们通过下面的例题说明求由参数方程所确定的函数的高阶导 数的一般步骤 例6设 I=In(1+t'),d2y d y y=t-arctant. d249 dx3 解(1)从原方程组出发按公式=x求一阶导数 (t arctan )' +t2 t x(n(1+t2)) +t2 2)把原方程组中的y=- arctan换成y=2,从新的方程组 x=g(t)=ln(1+t2), 出发求y的一阶导数即函数y的二阶导数,得

高等数学重点难点100讲 - +t2 Ln(1+t)]=22 1+t2 (3)同理,从方程组 g(t)=ln(1+t2) =1+t2 4t 出发求y"的一阶导数即函数y的三阶导数,得 1 d 4t n(1+t2)] t 8 例7作变换x=lnt简化方程 dy dy y=o 'd r2 dx 解令 y=y(t), 则由求导公式得一2一1 从新的方程组 出发,求得 t t (nt) t(y,+ty) 代人所给方程,注意到e=t2,得t2y+ty-ty4+t2y=0,消去t2,得 d