西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程参考书目（重点难点100讲）第23讲 复合函数求导法

高等数学重点难点100讲 第23讲反函教的导数、双曲函教和 反双曲函数的导数 、反函数的导数 反函数求导主要依据的是定理:设函数x=9(y)在(c,d)上单调可导且y(y)≠0,则它 的反函数y=f(x)在y)的值域(a,b)上也可导,且f()=d(y(反函数导数公式 例1试证:(1)( arsh.x) ;(2)(arche √1+ ,(x>1); (3)(artha)' 证(1)设x=shy为直接函数,则y= ashe是它的反函数,函数x=shy在区间I, =(-∞,+∞)内单调可导,且x,=chy=>0.因此由反函数求导公式知在 对应区间I2=(-∞,+∞)内有 但由x=e e 2得(e”)2-2xe-1=0,解出e=x士√x2+1,因e>0,所以ey √x+1+x(舍去x-√x+1),从而e”=√x+1-x,进而得:y1=-2 即( 1 arcs.C (2)设x=chy是直接函数,则y= archa是它的反函数,函数x=chy在区间I,=(0, +∞)内单调地从 limch=1增加至 lim chy=+∞,可导,且xy=(chy)= 2 =shy>0.因此,由反函数求导公式知:在对应区间I=(1,+∞)内 2y,由x=chy,有x=七,由此得e=x士√x-1,当y∈(0,+ ∞)时,e”>1,故ey=x+√x2-1(舍去e=x-√x2-1),从而ey=x-√x2-1, 进而得yx 2√x2-1 ,即( archs) 1(x>1) (3)设x=thy为直接函数则y= arthr是它的反函数,函数x=thy在l=(-∞, +∞)单调地从 lim thy=lims-e1增加到mthy=1,可导且x,chy>0. y-ooe+e-y 因此由反函数求导公式知在对应区间I=(-1,1)内y4=1=chy=(e+e-12 2 e2+e-z+2 x 由x=ey+ey 即 得 +x,从而y 设++H+2+211 ,即( artha)= (|x|

第23讲反函数的导数、双曲函数和反双曲函数的导数 75 例2设y=x+e,求它的反函数的定义域和反函数的导函数 解因为x在(-∞,+∞)上单调增,e在(-∞,+∞)上单调增,所以y=x+e 在(一∞,十∞)单调增,又yx=1+e>0,所以必存在单调连续反函数x=x(y)且在 (-∞,+∞)上可导,导数为 yr 1+ 例3证明由方程y+3y=x定义的单值函数y=y(x)存在,并求其导函数y(x) 解利用反函数与直接函数的关系先证明由方程y2+3y=x定义的单值函数y y(x)存在再用反函数求导法求解 设x=f(y)=3+y,其定义域为(-,+∞),值域为(-∞,+∞),且dy=3+ 3y2>0,可见x=f(y)在-∞

76 高等数学重点难点100讲 三、双曲函数、反双曲函数求导公式 1.(shx)=chr 2.(chr)=shz 3. (thz)=ch 4. arsha)Vi+2 5.(arche)' (x>1) 6.(arthr (|x|