西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程参考书目（重点难点100讲）第12讲 利用两边夹法则求极限

第12讲利用两边夹法则求极限 39 第12讲利用两边夹法则求极限 使用两边夹法则求极限的关键是选用合适的不等式·如果数列{zn}的极限不容易直接 求得,可以将它适当地缩小与放大,且使得缩小与放大后所得的两个新数列{xn}、{yn}的极 限分别存在并且相等,即有xn≤z≤yn,(n=1,2,…)且 limr= limy=a,从而夹在中 间的{zn}的极限存在也等于a,即 lime=a 这个法则可以推广到一般函数的情形,即如果limg(x)=A,imh(x)=A,且 (x)≤f(x)≤h(x) 则limf(x)存在,且等于A. 例1求lim 1L(n+1)2(n+2)2+…,+_1 (2n)2 解设z (n+1)2(n+2) +…+ (2n) 1)2(n+2)2 (2n) x=(m≤x=1+a+2+…+2)≤ (n+1)2=y X imr,=lim dn2=0, limy,=lim n +2m+1=0 ∴原式= lime=0. 例2求lm 2+1n2+ 2+ 解设zn n2+1n2+ n+ n ,z中各项的分母单调增加,即 n2+1<n2+2<…<n2+n n 十 +2 十≤1+2+…+ 1 2n(n+1) n(n+1) Im=um n+n=2. my,=lim n2+1=2 ∴由两边夹法则得知原式=limx,=1. 例3求lmr 解∵0≤型=1·2…-1.n≤1(n=1,2,… 不等式两端当n→∞时都以0为极限,所以lim型!=0. 同理可证:lim 例4求lm[(n+1)°-n](0<a<1). 解05(+y-x+y-1]<r[a+1y-1]-n2(=12…

40 高等数学重点难点100讲 这里,利用了函数y=a(a>1)的单调递增性·令n→∞,不等式两边都趋于0由两边夹 法则知 im[(n+1)°-n°]=0. 例5试证明:imya=1(a>0). 证(1)设a>1.要证lmva=1,即要证lim(ya-1)=0.下面对数列{va 1}进行放大与缩小 显然对任意的自然数n,有ya>1,所以,a-1>0. 令ya-1=bn,则{b}是一正项数列,只要证明lmbn=0即可 由va=1+b,得a=(1+b,)”=1+mb,+Cb+…+C"b 省略掉上式中的后n-1个正数项,得a≥1+mb,即a-1≥mbn 注意到b的非负性有不等式0≤b,≤"1.令n→∞,不等式两边都趋于0,所以, limb=0,即 lim va=1 (2)当a=1时,显然有 Tlim va=1 (3)当01,由(1)知limA=1,所以 lim a=lim-1 A 总之,当a>0时,lmya=1(这是一个很重要的极限式,务必牢记 例6利用例5的结果证明 lim va+a2+…+a;=max{a1,a,…,).其中a1,a, a是给定的k个正数 证令M=max{a1,a2,…,a}, 则有 M"≤a:+a2+…+a≤kM 进而有 M≤√a+a2+…+a≤√k·M 由例5知,imyk=1,所以当n→∞时,不等式两端都以M为极限 ∴lim√a+a2+…+a=M=max{a1,a2,…a,}. 例7求lm1++1+…+1 解因1≤1+1+ 十≤η,故1≤√1++3+…+n≤vn 又已知mvn=1〔参考第8讲),故Im/1+}+1+…+1=1 例8求!m√1+x+( (x≥0) 解(1)当x=0时,原式=1

第12讲利用两边夹法则求极限 2)当01且x>,即11,且x≤多即x≥2时,x≤(,这时三个量1,x,中最大的是 ( ,用与(4)同样的方法缩小与放大得不等式 ≤ 由法则得原式 0≤x≤1; (6)综上,得Im/1+x+ 1<x<2; ≥2