西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程参考书目（重点难点100讲）第37讲 函数的单调性判别法（1/2）

118 高等数学重点难点100讲 第37讲函数的草调性判别法(1) 函数的单调性判别法指的是:函数f(x)在[ab]上连续,在(a,b)内可导,若在(a,b)内 (x)>0(f(x)0,因此函数f(x)在(一∞,-1]上单调增加; 在区间(-1,0内,(x)0,因此函数f(x)在[0,十∞)上单调增加 例2确定函数f(x)= 的单调区间 解 f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),x=0是f(x)的间断点 f(x) 1-e)2 显然,当x0,当x>0时f(x)0,f(0)=0,试证:F(x)f(x是单调增加函 数 证F(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)

第37讲函数的单调性判别法(1) 119 F(z)=()=f(,要确定F(x)的符号,只要能确定出xP(x)-f(x)之 gx)的符号就可以了为此,求导数y(x)=f(x)+xf(x)-f(x)=xf(x) 注意到:m(x)>0,f(0)=0,在(一∞,0)内,q(x)y(0)=[xf(x)-f(x)]x=0=0,即g(x)在(-∞,0)内恒取 正值; 在(0,+∞)内,y(x)>0,所以g(x)单调增加;故当x>0时,q(x)>g(0)=0 即g(x)在(0,+∞)内也恒正 可见,在定义域内,F(x)>0,因此,F(x)单调增加 注意当由函数的一阶导数不能确定函数的单调性时,可将难以确定的部分设成一函 数,再次用导数判断其单调性,从而求解 根据函数的单调性判别法可知:若f(x)在[a,b]上二阶可导,且f(x)>0(f”(x)0,则f(0),(1),f(1)-f(0),或f(0) f(1)的大小顺序是() (A)f(1)>f(0)>f(1)>f(0);(B)f(1)>f(1)-f(0)>f(0) (C)f(1)-f(0)>f(1)>f(0);(D)(1)>f(0)-f(1)>f(0 解因(x)>0,所以依单调性判别法知:在[0,1]上,f(x)单调增;又由拉格朗日中 值定理得f(1)-f(0)=f()(0f()=f(1)-f(0)> f(0).故选B. 例5已知在[a,b]内f(x)存在二阶导数,f(x)≥0且f"(x)=0的点为孤立点,又 f(a)=f(b)=0,试证在(a,b)内f(x)0且f(x)=0的点为孤立点,所以在(a,b)内f(x)单调增,又f(x) 在[a,b上满足罗尔定理条件,故由罗尔定理知有∈(a,b),使f()=0.由f(x)的单调 增加性知当x∈(a,)时,f(x)f()=0,即区间(,b)是f(x)取值恒正的区间,从而由单调性判别 法知:函数∫(x)在[a,勺上单调减,f(x)在[,b上单调增,即 f(x)0,从而只需在[0,r)上考虑问题在(0,x)内,(x)= (x+x2-cosx)x+?-h+inx>0,故f(x)在[0,x]上单调增加,又因f(0) 10,所以由∫(x)的单调性及连续函数的介值定理知:f(x)=0在(0,x) 上有惟一实根,从而∫(x)在(-∞,+∞)内有且仅有两个零点

120 高等数学重点难点100讲 例7若a2亠3b0,从而当x∈(-∞,+∞)时,恒有 f(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调增加,故f(x)至多只能有一个零点 又∵limf(x) ∞,limf(x)=+∞, ∴存在x1,使f(x1)x1,使f(x2)>0, ∴f(x)=0在(x1,x2)内有一根 综上所述,f(x)=0只有惟一实根 例8(选择题)设常数k>0,则f(x)=1nx-x+k在(0,+∞)内零点个数为 (A)3;(B)2;(C)1;(D)0. 解f(x)在(0,+∞)内有定义、连续、可导.求导,得f(x)= 令(x)=0,得驻点x=e,x=e把定义域(0,+∞)分成两部分(0,e),(e 在(0,e)内,f(x)>0,f(x)在(0,e]单调增 注意到f(0+0)=limf(x)=-∞,f(e)=k>0 可见,f(x)在(0,e)内,从f(0+0)0.因此,f(x)在(0,e)内有惟 一零点 在(e,+∞)内,f(x)0,f(+∞)=limf(x)=-∞. 可见,f(x)在[e,+∞)内f(x)从∫(e)>0单调减少至∫(+∞)<0,因此,f(x)在 (e,+∞)内有惟一零点 综上讨论知,f(x)在(0,+∞)内有两个零点,所以选B. 小结从例6至例8可知利用判别法判定方程根的一般思路是: (1)利用判别法求出函数f(x)的单调区间[a1,b],[a2,b2],…[anb,],从而在每一个单 调区间内f(x)=0至多有一个实根; (2)考察在每个区间[a,]端点的符号,若f(a1)f(b,)<0,由连续函数的介值定理知 f(x)=0在(a,b)内有一实根,否则,无实根 (3)从而得方程f(x)=0在其定义域内的根的总数