西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程参考书目（重点难点100讲）第53讲 抽象函数与分段函数的不定积分

高等数学重点难点100讲 第53讲抽象函教与分段函教的不定积分 一、抽象函数的不定积分 所谓抽象函数的不定积分,是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分,其解法同样可 用第47至52讲中所采用的各种方法 例1求 f(In.x) dr √f(hnx) 解凑微分原积分-mn20m-=m%出 [f(t)]df(t)=2√f(t)+C=2√f(hnx) 例2若fx)连续,则xf"(x)dx=() Dt(T f(x)dx (B)rf f(r)+C (C)rf(x)-f(x)+C: (D)f(x)-xf(x)+c 解利用分部积分法得 xf(x)dx=d(f(x))=xf(x)-f(x)dx=xf(x)-f(x)+C 故选C 例3设f(cosx+2)=sin2x+tan2x,求f(x) 解设u=cosx+2,则cosx=l-2,sin2x=1-cos2x=1-(u-2)2 set 2) 从而f(u)=1-(u-2)2+ (l-2)2-(a-2)2, 积分得f(x)=f(x)dx 2)2-(x-2)2 例4求xf(2x)dx,其中f(x)的原函数为 SIn. Lx 解 (2x)dx=xd( f(2x))=xf(2x)-af(2x)dx SInT 因 为f(x)的一个原函数,所以依原函数定义知 )≈ coSI-sinx SInT I(r)dx sinx +c 从而f(2x)= 2xcos 2r- sin2x W =f(2r)dx= 2rcos x- sin2r-1 sin2+ 例5设∫(x2-1)=1nn2,且八)]=nx,求|以x)dx

第53讲抽象函数与分段函数的不定积分 173 由f(x2 知f(x)= 又由几(x)]=lngx)+1=lnx得x)-1=x,于是,g(x)=x+1 p(x)+1 Pr x)dx dx =x+l 1)2+C. 例6求 f'(x) 3( 解原式=「f(x)P2(x)-f(x)f"(xdx )f2(x)-f(x)f"( f3(x) f'(r) d f(x)f(r2 Lf(z) +C. f(x) lf(x) 二、分段函数的不定积分 连续函数必有原函数,且原函数连续 <x<0 例7设f(x)={x+1,0≤x≤1; 求f(x)dx 2x,1<x<+∞ 解(1)先根据连续的分段函数f(x)的各段的具体形式,求出一个含待定常数的原函 数 +CI, <x<0 F(x) +x+ c 0≤x≤1 x2+C3 <x< (2)适当地选择常数C1,C2,C3,使F(x)在R上连续,不妨取C1=0,由F(x)在x=0, 1处的连续性可得C2=0,C3=2 F(x)={2x2+x, ≤x≤1 (3)按定义写出不定积分 +C, <0 f()dr=F(r)+C=32+I+C, 0≤x≤1; +÷+C 小结计算连续的分段函数的不定积分的基本步骤是:①分段积分并取不同的任意常 数:②利用积分结果在分段点处的连续性,确定任意常数间的关系