《现代控制系统 The Academy of Armored Force Engineering of PLA》第六章 线性反馈系统的稳定性（1/2）

第6章线性反馈系统的稳定性 保证闭环反馈系统稳定性的问题是控制系统设计的 中心问题。 主要内容: 6.1稳定的概念 62劳斯—霍尔维茨稳定判据 6.3反馈控制系统的相对稳定性 64状态变量系统的稳定性 6.5设计实例:火车转向控制 6.6用 MATLAB分析系统的稳定性

第6章 线性反馈系统的稳定性 保证闭环反馈系统稳定性的问题是控制系统设计的 中心问题。 6.1 稳定的概念 6.2 劳斯—霍尔维茨稳定判据 6.3 反馈控制系统的相对稳定性 6.4 状态变量系统的稳定性 6.5 设计实例：火车转向控制 6.6 用MATLAB分析系统的稳定性 主要内容：

6.1稳定的概念 绝对 稳定 稳定 相对 系统 稳定 临界 稳定 不稳定

6.1 稳定的概念 系统 稳定 不稳定 绝对 稳定 相对 稳定 临界 稳定

)稳定定义 个稳定的系统被定义为系统具有有限(有界)的响应。 也就是说,如果一个系统受到有界输入或扰动,并且响应 的幅值也是有界的,那么系统可以说是稳定的 稳定的系统是对于有界输入具有有界输出的动态系统 (BIBO 由稳定的定义可引申出: 1)当且仅当脉冲响应g(的绝对值在整个无限区间为有 限值,则该系统稳定

一个稳定的系统被定义为系统具有有限（有界）的响应。 也就是说，如果一个系统受到有界输入或扰动，并且响应 的幅值也是有界的，那么系统可以说是稳定的。 稳定的系统是对于有界输入具有有界输出的动态系统. (BIBO) 一）稳定定义 由稳定的定义可引申出： 1）当且仅当脉冲响应g(t)的绝对值在整个无限区间为有 限值，则该系统稳定

2)反馈系统稳定的充分必要条件为系统传递函数所有 的极点必须具有负的实部,即闭环系统的所有极点必须 位于复平面的左半区域。 7()=p(s) KI(+=) q(s) R (S+OKI[s+2amS+(am+@m) m=1 在脉冲输入下: y(t)=2Aeok'+>Bm e nd sin( amt+0m) k=1

   = = = + + + + + = = Q k R m k m m m n M i i s s s s K s z q s p s T s 1 1 2 2 2 1 ( ) [ 2 ( )] ( ) ( ) ( ) ( )     2）反馈系统稳定的充分必要条件为系统传递函数所有 的极点必须具有负的实部，即闭环系统的所有极点必须 位于复平面的左半区域 。   = = − − = + + Q k R m m m t m m t k y t A e B e t k m 1 1 sin( ) 1 ( )      在脉冲输入下：

二)不稳定的定义 如果系统特征根不全在左半平面上,系统称为不稳定, 即有一个或多个特征根在复平面的右半平面。 不稳定的例子:第一座横跨塔科马海峡的大桥 三)临界稳定的定义 如果系统特征根除了位于虚轴上的一对根外其余均位 于左半平面,除了在频率等于虚根幅值的正弦输入(为有 界输入)下的输出是无界,其余有界输入作用下的稳态响 应均为持续振荡,此时称系统为临界稳定

二）不稳定的定义 如果系统特征根不全在左半平面上，系统称为不稳定， 即有一个或多个特征根在复平面的右半平面。 不稳定的例子：第一座横跨塔科马海峡的大桥 三）临界稳定的定义 如果系统特征根除了位于虚轴上的一对根外其余均位 于左半平面，除了在频率等于虚根幅值的正弦输入（为有 界输入）下的输出是无界，其余有界输入作用下的稳态响 应均为持续振荡，此时称系统为临界稳定

以二阶系统为例: Y(S) 2R(s) S2+2,S+ S12=-Contjonv1 0S12=±jO Y(S) R(s) s+a

( ) 2 ( ) 2 2 R s s s Y s n n n    + + = 以二阶系统为例： 2 s1,2 = −n  jn 1−  = 0 n s1,2 =  j ( ) ( ) 2 2 R s s Y s n n   + =

r(t)=sin a,t R(S) 2 Y(s)=-22 j,是二重根 s+O

r t t n ( ) = sin 2 2 ( ) n n s R s   + = 2 2 2 ( )         + = n n s Y s   n  j 是二重根

k1 k3 k4 (S-Jon(s-jo,)(s+ja,)(s+j y(t)=k,ten +k,eJ@n +k,te jo, t+ke-jo

j t j t j t j t n n n n y t k t e k e k t e k e   −  −  = 1 + 2 + 3 + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 3 2 1 n n n n s j k s j k s j k s j k Y s    +  + + + − + − =

6.2稳定判据 最基本方法:求传递函数的极点 (1)S平面法 (2)频域面法(jv) (3)时域法 一)必要性判据 △(S)=q(s)=an"+an-1s+…+a1s+ao=0 an(S-r1)(S-n2).(S-rn)=0

6.2 稳定判据 （1）S-平面法 （2）频域面法（jw） （3）时域法 最基本方法：求传递函数的极点 ( ) ( ) ... 1 0 0 1  = = + 1 + + + = − s q s a s a − s a s a n n n n an (s − r1 )(s − r2 )...(s − rn ) = 0 一）必要性判据

qs)=a, s"-an(r+r2+.+rn)s-+a,(rn,+rn+rn+s"- an、23+F4…)sn-3+…+an(-1)”r1rrrn=0 s"-(+n2+…+rn)sn+(+l3+F2+…)sn2 (F3+124…)+…+(-1)”23…Fn=0 注意到:多项式系数具有相同的符号且非零是系统稳定的必要条件。 系统稳定 多项式系数具有相同的符号且非零

( ...) ... ( 1) ... 0 ( ) ( ... ) ( ...) 1 2 3 3 1 2 3 1 2 4 2 1 2 2 3 1 3 1 1 2 − + + + − = = − + + + + + + + − − − n n n n n n n n n n n n a r r r r r r s a r r r r q s a s a r r r s a r r r r r r s ( ...) ... ( 1) ... 0 ( ... ) ( ...) 1 2 3 3 1 2 3 1 2 4 2 1 2 2 3 1 3 1 1 2 − + + + − = − + + + + + + + − − − n n n n n n n rr r rr r s rr r r s r r r s rr r r rr s 注意到：多项式系数具有相同的符号且非零是系统稳定的必要条件。 系统稳定 多项式系数具有相同的符号且非零