《现代控制系统 The Academy of Armored Force Engineering of PLA》第三章 状态空间模型（2/3）

3.5由状态方程求传递函数 )状态方程的传递函数的导出 X=Ax+Bu Cx sX(S)=AX(S)+BU(S Y(S)=CX(S) (SI-A)X(S)=BU(S) MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 0 3.5 由状态方程求传递函数 一）状态方程的传递函数的导出 x  = Ax +Bu y = Cx sX(s) = AX(s) + BU(s) Y(s) = CX(s) (sI − A)X(s) = BU(s)

[sI-A]=(s) X(S=qSBU(S Y(S=Cq()BU(S) G(S)=Y(S)/U(S) G(s)=CΦ(s)B MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 1 [ ] ( ) 1 sI − A =Φ s − X(s) =Φ(s)BU(s) Y(s) = CΦ(s)BU(s) G(s) = Y(s)/U(s) G(s) = CΦ(s)B

二)实例 例6:RLC网络的传递函数 X x+ 0 R 1-R LL 解 R (S+ R S S MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 2 二）实例 例6：RLC网络的传递函数 x x u         +           − − = 0 1 1 1 0 C L R L  C y = 0 Rx 解：             + − − = ( ) 1 1 L R s L C s sI A             − +  = − = − s L L C R s s s s 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 Φ I A

R S)=[SIAJ= △(s) S 其中 R △(s) S十 LC MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 3             − +  = − = − s L L C R s s s s 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 Φ I A LC s L R s s 1 ( ) 2  = + + 其中:

于是RLC网络的传递函数为 R S G(s)=pA(s)C△(s)lc L△(S)△(s) R/LC R/LC △(S R S-+—S LO MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 4 于是RLC网络的传递函数为：   LC s L R s R LC s R LC C s s L s s C s L R s G s R 1 / ( ) / 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 2 + + =  =                          −  + =

36状态转移矩阵和系统时间响应 状态微分方程的解为: x()=0x(+[q(-)Bu(c)dr )状态转移矩阵的求解 ()=0X(s)=q(s)Xx(0 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 5 3.6 状态转移矩阵和系统时间响应 状态微分方程的解为：  = + − t t t t d 0 x( ) Φ( )x(0) Φ(  )Bu( )  一）状态转移矩阵的求解 u( ) = 0 X(s) =Φ(s)x(0)

因此,只要确定了状态变量x3)和状态初始条件 xO之间的关系,就可求出状态转移矩阵 的拉普拉斯变换。作逆拉普拉斯变换就可容易地求出状 态转移矩阵,即 ()=L{(s)} 例如:对二阶系统而言有 X1(s)=如1(S)x1(0)+g2(S)x2(O x2(s)=1(s)x1(0)+2(S)x2(0) 其中区与区之间的关系可以通过Mam增益公式。 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 6 ( ) ( ) (0) ( ) (0), ( ) ( ) (0) ( ) (0), 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 X s s x s x X s s x s x     = + = + 例如：对二阶系统而言有 其中 ( ) 2 X s (0) 1 与 x 之间的关系可以通过Mason增益公式。 因此，只要确定了状态变量 X (s) i 和状态初始条件  (0), (0), , (0) 1 2 n x x  x 之间的关系，就可求出状态转移矩阵 的拉普拉斯变换。作逆拉普拉斯变换就可容易地求出状 态转移矩阵，即 Φ( ) {Φ( )} 1 t L s − =

例7状态转移矩阵的求解 u(t) Current C R<Uo Source 图34 MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 7 例 7 状态转移矩阵的求解 图 3.4

0 R (t 0 L R图 R=3.L=1.C=1/2 MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 8 (t) 0 1 1 1 0 C u L R L C                   − ＋ － x＝ x y = 0 Rx R = 3, L = 1,C = 1/ 2

方法1:求解逆阵的方法 0-2 A 1(S+3) 1(s+3)-2 △(s) 其中 s)=(s+3)+2=2+38+2=(s++2 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 9 方法1: 求解逆阵的方法       − − = 1 3 0 2 A         − + − = 1 ( 3) 2 s s sI A         + −  = − = − s s s s s 1 ( 3) 2 ( ) 1 ( ) 1 Φ I A ( ) ( 3) 2 3 2 ( 1)( 2) 2  s = s s + + = s + s + = s + s + 其中