《现代控制系统 The Academy of Armored Force Engineering of PLA》第九章 频域稳定性（9.1-9.3）

第9章频域稳定性 本章将通过说明频率响应法如何能够用于研究稳定性, 来进一步讨论系统的稳定性问题。在Bode图和 Nyquist图 的情形下,详细介绍了增益裕量、相位裕量和带宽等重要 概念。研究了称为 Nyquist稳定判据的频率响应稳定性结 论,并通过几个有趣的例子来说明了 Nyquist稳定判据的 应用。本章还讨论了纯时延环节对系统稳定性和性能的 影响

第9章 频域稳定性 本章将通过说明频率响应法如何能够用于研究稳定性， 来进一步讨论系统的稳定性问题。在Bode图和Nyquist图 的情形下，详细介绍了增益裕量、相位裕量和带宽等重要 概念。研究了称为Nyquist稳定判据的频率响应稳定性结 论，并通过几个有趣的例子来说明了Nyquist稳定判据的 应用。本章还讨论了纯时延环节对系统稳定性和性能的 影响

主要内容: 1)s平面上围线映射; 2) Nyquist稳定性判据; 3)相对稳定性和 Nyquist稳定性判据; 4)在频域中规定的时域性能判据; 5)系统带宽; 6)时延系统的稳定性; 7)频域中的PID控制器 8) Matlab仿真

主要内容： 1）s平面上围线映射； 2）Nyquist稳定性判据 ； 3）相对稳定性和Nyquist稳定性判据 ； 4）在频域中规定的时域性能判据； 5）系统带宽； 6）时延系统的稳定性； 7）频域中的PID控制器； 8) Matlab仿真

9.1引 H. Nyquist在1932年就提出了频域稳定性判据。迄今 该方法仍然是研究线性控制系统稳定性的基本方法。 Nyquist稳定性判据( Nyquist stabil ity criter ion) 是以复变函数理论的 Cauchy定理为理论基础的。 Cauchy定理虽然涉及复平面的围线映射( mapp Ing contour s)概念,所幸的是,不必用复变理论作严格 的证明就能理解该定理

9.1 引言 H.Nyquist在1932年就提出了频域稳定性判据。迄今， 该方法仍然是研究线性控制系统稳定性的基本方法。 Nyquist稳定性判据（Nyquist stability criterion） 是以复变函数理论的Cauchy定理为理论基础的。 Cauchy定理虽然涉及复平面的围线映射（mapping contours）概念，所幸的是，不必用复变理论作严格 的证明就能理解该定理

为了确定闭环系统的相对稳定性,必须研究系统的 特征方程: F(s)=1+L(s)=0 其中对单环系统, L(S)=G(S)H(S) 对多环系统,特征方程为 F(S=A(S=l-2Ln+2lmL

为了确定闭环系统的相对稳定性，必须研究系统的 特征方程： F(s) = 1+ L(s) = 0 L(s) = G(s)H(s) F(s) = (s) = 1− Ln + Lm Lq  = 0 其中对单环系统， 对多环系统，特征方程为

为了使系统稳定,必须确定的所有零点是F(都位于 左半平面。于是, Nyquist提出了将右半平面映射到F(s) 平面,并由此得出 Nyquist稳定判据。为了理解和应用 Nyquist判据,首先简要介绍复平面上的围线映射的概 念

为了使系统稳定，必须确定的所有零点是 否都位于 左半平面。于是，Nyquist提出了将右半平面映射到 平面，并由此得出Nyquist稳定判据。为了理解和应用 Nyquist判据，首先简要介绍复平面上的围线映射的概 念。 F(s) F(s)

9.2s-平面上的围线映射 )围线映射( contour map)是通过关系函数将一个 平面上的围线或轨迹映射或变换到另一个平面上 F(s)是关于变量s的函数,取S=σ+jO,则 F(s=u+jv 也为复数,可以在F(S)复平面上用坐标u和v表示映射 结果。 考察函数F(S)=2+厢图92(a)所示的s平面上的围线。 如果通过关系式将s平面上的单位正方形围线映射到F(s) 复平面上,则有

9.2 s-平面上的围线映射 一) 围线映射（contour map）是通过关系函数将一个 平面上的围线或轨迹映射或变换到另一个平面上。 F(s) 是关于变量s的函数，取 s =  + j ，则 F(s) = u + jv 也为复数，可以在F(s)复平面上用坐标u和v表示映射 结果。 考察函数 和图9.2(a)所示的s平面上的围线。 如果通过关系式将s平面上的单位正方形围线映射到 复平面上，则有 F(s) = 2s +1 F(s)

l+jv=F(s)=2s+1=2(+j)+1 从而 2o+1y=2a F(s-plane - plane 川-B 1 图9.2

u + j v = F(s) = 2s +1 = 2( + j) +1 从而 u = 2 +1 v = 2 图 9.2

①保角映射 ②闭合曲线映射成闭合曲线 ③沿围线顺时针行进的方向是正方向并且围线所包 围的区域是在右侧的区域,该区域称为围线的包 围区域 ④“顺时针,向右看” 再考察一个围线映射的例子,其中平面上的围线仍为 单位正方形,映射函数F(S)为s的有理函数,即 F(S) s+2

① 保角映射 ② 闭合曲线映射成闭合曲线 ③ 沿围线顺时针行进的方向是正方向并且围线所包 围的区域是在右侧的区域，该区域称为围线的包 围区域 ④ “顺时针，向右看” 再考察一个围线映射的例子，其中s平面上的围线仍为 单位正方形，映射函数 F(s) 为 s 的有理函数，即 2 ( ) + = s s F s

表9.1计算的一些F(s)值 平而点A 点B 点c 点D S=a+JO 1+n1|11-i 1+n1 F(s=u+jy 4+2J 14-2j1 1+2J 10 10 125 5 0 图93

图 9.3

二) Cauchy定理 对于在围线内具有有限个极点和零点的函数F(s), Cauchy 定理给出了围线映射的结论。 K s+s F(S) M ∏I(s+S) F(s)是特征函数,有 F(s)=1+L(s) 其中 N(S) D(S)

二) Cauchy定理 对于在围线内具有有限个极点和零点的函数F(s)，Cauchy 定理给出了围线映射的结论。   = = + + = M k k n i i s s K s s F s 1 1 ( ) ( ) ( ) F(s) = 1+ L(s) F(s)是特征函数，有 其中 ( ) ( ) ( ) D s N s L s =