《现代控制系统 The Academy of Armored Force Engineering of PLA》第二章 系统的数学模型（1/3）

第二章系统的数学模型 4重点 物理系统的常微分方程描述 物理系统的线性近似 Laplace变换和 Laplace反变换 传递函数 系统的框图模型描述与信号流图模型描述 Matlab系统仿真 实例分析和设计 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 0 第二章 系统的数学模型 重点 • 物理系统的常微分方程描述 • 物理系统的线性近似 • Laplace变换和Laplace反变换 • 传递函数 • 系统的框图模型描述与信号流图模型描述 • Matlab系统仿真 • 实例分析和设计

回顾与导入 亻为了理解和控制复杂系统,应当获得这些系统的定 量数学模型( mathematica1 model) 由于所考察的系统在性质上是动态的,所以描述方 程通常是微分方程( differential equation) 而且,如果能够线性化( linearize)这些方程,那 么就可以使用 Laplace变换( transform)简化求解 方法。 MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 1 回 顾 与 导 入 为了理解和控制复杂系统，应当获得这些系统的定 量数学模型（mathematical model）。 由于所考察的系统在性质上是动态的，所以描述方 程通常是微分方程（differential equation）。 而且，如果能够线性化（linearize）这些方程，那 么就可以使用Laplace变换（transform）简化求解 方法

研究动态系统问题的方法可以归纳如下 11.确定系统及其各元件 2.作出必要的偎设并推导数学模型 ψ3.写出描述该模型的微分方程 44.解方程求出需要的输出变量 15.检查得到的解和作出的假设 MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 2 研究动态系统问题的方法可以归纳如下： 1. 确定系统及其各元件； 2. 作出必要的假设并推导数学模型； 3. 写出描述该模型的微分方程； 4. 解方程求出需要的输出变量； 5. 检查得到的解和作出的假设；

2.1物理系统的微分方程组 )穿过型变量和跨越型变量 例:考察图21所示的扭力弹簧质量系统,其中外加 转矩为。假定扭力弹簣元件是无质量的。假设希 望测量传递至质量上的转矩。 MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 3 2.1 物理系统的微分方程组 例：考察图2.1所示的扭力弹簧-质量系统，其中外加 转矩为。假定扭力弹簧元件是无质量的。假设希 望测量传递至质量上的转矩。 一）穿过型变量和跨越型变量

a (b) 图2.1(a)扭力弹簧-质量系统;(b弹簧元件 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 4 图2.1 (a) 扭力弹簧-质量系统；(b) 弹簧元件

1)由于弹簧的质量为零,所以作用在弹簧本身的转 矩必然为零,即 7G(1)-T(t)=0 可知,施加在弹簧一端的外加转矩穿过( through) 扭力弹簧被传递到了另一端。由此,称该转矩为穿 过变量( through-variable) 2)与扭力弹簧元件有关联的角速度差为 o(t)=o()-o2() 它是跨越( across)扭力弹簣元件测量到的,因而 称其为跨越变量( across variable)。 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 5 1）由于弹簧的质量为零，所以作用在弹簧本身的转 矩必然为零，即 可知，施加在弹簧一端的外加转矩穿过（through） 扭力弹簧被传递到了另一端。由此，称该转矩为穿 过变量（through-variable）。 2) 与扭力弹簧元件有关联的角速度差为 它是跨越（across）扭力弹簧元件测量到的，因而 称其为跨越变量（across variable）。 Ta (t) −Ts (t) = 0 (t) (t) (t)  =s −a

二)系统常微分方程建立 通过采用过程的物理定律可以获得描述物理系统动态 特性的微分方程。该方法同样适用于机械、电气、流体 和热力系统。 例1:图22(b)给出了质量的自由体图。在该弹簧 质量-阻尼器机械系统例子中,把侧壁的摩擦建模为 粘性摩擦( viscous damper),即摩擦力与质量的速 度成线性比例关系。运用牛顿第二定律,求作用在 质量的力,得 MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 6 例1： 图2.2(b)给出了质量的自由体图。在该弹簧- 质量-阻尼器机械系统例子中，把侧壁的摩擦建模为 粘性摩擦（viscous damper），即摩擦力与质量的速 度成线性比例关系。运用牛顿第二定律，求作用在 质量的力，得 通过采用过程的物理定律可以获得描述物理系统动态 特性的微分方程。该方法同样适用于机械、电气、流体 和热力系统。 二） 系统常微分方程建立

Wall Friction. M Mass r 图22(a)弹簧-质量阻尼器 (b)自由体图 机械系统 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 7 图2.2 (a) 弹簧-质量-阻尼器 机械系统 (b) 自由体图

d y(t) dy(t) +b +kyt=r(t dt dt 式中,k为理想弹簧的弹性系数,b为摩擦系数,该方程为 个二阶线性常系数微分方程 例2:运用 Kirchhoff电流定律可以描述图2.3所示的电路。 uren R (1) source 图23RLC电路 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 8 例2: 运用Kirchhoff电流定律可以描述图2.3所示的电路。 图2.3 RLC电路 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 k y t r t dt dy t b dt d y t M + + = 式中，k为理想弹簧的弹性系数，b为摩擦系数，该方程为 一个二阶线性常系数微分方程

(t) dv(t) +o v(tdt =r(t) R dt 式中R,L和C均是定常数,该方程为 阶线性常系数 微分方程。 三)相似变量和相似系统 1(4)= y?(4) dt o +bv(0)+klv(dt=r( dt (t) dv(t) v(t)dt=r(t R 0 DEl MODERN CONTROL SYSTEM

MODERN CONTROL SYSTEM 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 v t dt r t dt L dv t C R v t t + + =  式中R, L和 C均是定常数，该方程为一个二阶线性常系数 微分方程。 三）相似变量和相似系统 dt dy t v t ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 bv t k v t dt r t dt dv t M t + + =  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 v t dt r t dt L dv t C R v t t + + = 