《现代控制系统 The Academy of Armored Force Engineering of PLA》第八章 频率响应法（1/2）

第8章频率响应法 主要内容: 8.1频率响应的定义; 8.2频率响应图的绘制; 8.3绘制波特图示例 8.4频率响应测量 8.5频域性能指标; 8.6对数幅相图; 8.7设计实例; 88利用 MATLAB进行频率响应分析

第8章 频率响应法 主要内容： 8.1 频率响应的定义; 8.2 频率响应图的绘制; 8.3 绘制波特图示例; 8.4 频率响应测量; 8.5 频域性能指标; 8.6 对数幅相图; 8.7 设计实例; 8.8 利用MATLAB进行频率响应分析

8频率响应定义 )定义 系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。 对于线性系统,若正弦为唯一的输入信号,则输出信号 和整个系统的内部信号在稳态时都是正弦信号;只是幅 值和相位与输入波形不同。 考察系统Y(s)=7(s)R(s),其中 m(s) R(S Tos)- m(s) 2 s+a 2 ∏(s+p)

8.1 频率响应定义 一）定义 系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。 对于线性系统，若正弦为唯一的输入信号，则输出信号 和整个系统的内部信号在稳态时都是正弦信号；只是幅 值和相位与输入波形不同。 考察系统 Y(s) = T(s)R(s) ,其中 2 2 ( )   + = s A R s = + = = n i pi s m s q s m s T s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

其中,假设为互不相同的极点。故由部分分式展开有 a s+ Y(S) B ∴ S+p stp S+o 取反拉普拉斯变换得 y()=ken+…+ke+1as+B 2 s-+ 如果系统是稳定的,则 lim y(t=lim L-1 as+B 2 s +O

其中，假设pi为互不相同的极点。故由部分分式展开有 2 2 1 1 ( )    + + + + + + + = s s s p k s p k Y s n  n       + + = + + + − − − 2 2 1 1 ( ) 1    s s y t k e k e L p t n p t  n 取反拉普拉斯变换得 如果系统是稳定的，则       + + = − → → 2 2 1 lim ( ) lim    s s y t L t t

在取y(t的极限情形下,即对于t→∞,可得 a s+ y(t=L AoT(josin(ot+o)=AT(jo)sin(at+p) 其中=/7(jo) 稳态输出信号只取决于7(j0)在特定频率O)的幅值和相位 且只针对稳定系统该命题成立 频率响应法的优点:是易于获得各种频率和幅值的正弦 测试信号;是可以通过用产代替传递函数T(s)中s来得到描 述系统正弦稳态响应特性的传递函数缺点在于频率和时 域之间没有直接的联系

在取y(t)的极限情形下，即对于t → ，可得 ( ) sin( ) ( ) sin( ) 1 ( ) 2 2 1            = + = +       + + = − A T j t A T j t s s y t L 其中  = T( j ) 稳态输出信号只取决于 在特定频率 的幅值和相位 且只针对稳定系统该命题成立. T ( j)  频率响应法的优点:是易于获得各种频率和幅值的正弦 测试信号;是可以通过用jw代替传递函数T(s)中s来得到描 述系统正弦稳态响应特性的传递函数.缺点在于频率和时 域之间没有直接的联系

二)拉氏变换和傅立叶变换 1) F(s)=L(t)=f(test C+10o f(t)=L{F(s)}= F(se st 2Tt i Ja F(0)=F{f(t)}=f(k ot f()=F{F(O)}= FLoE da 2丌

二）拉氏变换和傅立叶变换 F s L f t f t e dt −st   = = 0 ( ) { ( )} ( ) F s e ds j f t L F s s t j  j +  −  − = =    ( ) 2 1 ( ) { ( )} 1 F j F f t f t e dt jt  −  − ( ) = { ( )} = ( )      f t F F j F j e d j t   − − = = ( ) 2 1 ( ) { ( )} 1 1）

2)联系和区别 Lap lace变换用于研究传递函数在平面上的零极点配置。 而频率响应可用于考察传递函数T(jo),并将注意力集 中在系统的幅值和相位特性上。这种通过幅值和相位方 程与曲线来研究和表示系统特性的能力是控制系统分析 和设计的优点之一。 例 R(jo)= r(t)e jot Y(o)=T(OR(o G(O) RGo 1+G(OHGo

2）联系和区别 Laplace变换用于研究传递函数在平面上的零极点配置。 而频率响应可用于考察传递函数 ，并将注意力集 中在系统的幅值和相位特性上。这种通过幅值和相位方 程与曲线来研究和表示系统特性的能力是控制系统分析 和设计的优点之一。 T ( j) 例：   − − R j = r t e dt jt ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        R j G j H j G j Y j T j R j + = =

y(1)=F{Y() Y()e/ode 2丌 但是,除了最简单的系统可以采用图解法之外,通常很难 计算该反变换积分。此外,在后续章节里将会看到,可以 建立瞬态响应的几个性能度量与频率特性的关系式,并用 于设计目的

     y t F Y j Y j e d j t   − − = = ( ) 2 1 ( ) { ( )} 1 但是，除了最简单的系统可以采用图解法之外，通常很难 计算该反变换积分。此外，在后续章节里将会看到，可以 建立瞬态响应的几个性能度量与频率特性的关系式，并用 于设计目的

8.2频率响应图 频率响应图包括三种 极坐标图,对数坐标图(Bode图),对数幅相图 )极坐标图 系统的传递函数G(s)的频域可表示为 (o)=G(s)=R(a)+jY(o)(*) S=JO 其中 R(O)=RelG(jo X(o)=Im[ g(o)

8.2 频率响应图 频率响应图包括三种： 极坐标图，对数坐标图（Bode图），对数幅相图 一）极坐标图 系统的传递函数 G(s) 的频域可表示为 ( ) ( ) () ()  G j G s R j X s j = = + = R() = Re[G( j)] X () = Im[G( j)] 其中 （*）

另一方面,频域中传递函数可以用幅值和相位表示为 G()=G(o))=|G(o)()(*) 其中 o(a)=tan X() R() (m)=R(m)+X(a) 利用(*)或(*)可绘制频域响应图,此时的频域 响应图成为极坐标图

另一方面，频域中传递函数可以用幅值和相位表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        G j G j e G j = = ( ) ( ) ( ) tan 1     R − X = 2 2 2 G() = R() + X () 其中 （**） 利用（*）或（**）可绘制频域响应图，此时的频域 响应图成为极坐标图

例1:RC滤波器的频率响应 +O- R 图8.2RC滤波器 该系统的传递函数为 G(S) V(S) RCS +1

例1： RC滤波器的频率响应 图8.2 RC滤波器 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 + = = V s RCs V s G s 该系统的传递函数为