西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）1.7 无穷小的比较

第1章 §1.7无穷小的比较 燕列雅权豫西王兰芳李琪

§1.7 无穷小的比较 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第1章

引例.x→0时,3x,x2,sinx都是无穷小,但 Im lim sinx I 0 lim sinx x→>03x x-)03X3x-0 3= 可见同样是无穷小,但它们趋于0的速度有所不同 定义4设a,B是自变量同一变化过程中的无穷小, 若im=0则称是比a高阶的无穷小,记作 C B=o(a) 若im2=C≠0,则称是a的同阶无穷小 若lim=1,则称B是a的等价无穷小记作a~B C 或B~a

x → 0时, 3x, x ,sin x 引例 . 2 都是无穷小, x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见同样是无穷小，但它们趋于 0 的速度有所不同 . 定义4 lim = 0,   若 则称  是比  高阶的无穷小,  = o() 若 lim =1,   若  ~  ~  lim = C  0,   或 设  ,  是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称  是  的同阶无穷小; 则称  是  的等价无穷小, 记作

例如,当x→>0时 x=o( 6x), sinx w x, tan x wx arcsin XwX 又如, 1-cos x 2sin lim l =lim x->0x x>04()22 故x→>0时,1-cosx和x2的同阶无穷小,且 -COS 2 2 X

例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 x → 0 时, 1− cos x 和 x２ 的同阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且

定理2设a~,B~B且mm阝在在,则 lim =lim B C C 证im=imBB C βββ lim lim/ lim -= lim B C C 由定理7,对于自变量的同一变化过程,a,B为 无穷小,由等价无穷小的性质,可简化某些极限的运 算

定理2 设  ~ ,  ~  , 且 存在 , 则   lim     = lim 证   lim        =   lim          = lim     lim   lim     = lim 由定理７，对于自变量的同一变化过程 ,  ,  为 无穷小，由等价无穷小的性质, 可简化某些极限的运 算

例1求lim tan 2x x→>0Sin5x 2x2 解原式=lim x→>05x5 例2求lim tanx-sinx x→>0 xX 解原式=1im tan x (1-COsx)(原式关mx=x 1>0 31 x→>0 2 X.x = lim x->0x 2

例1 求 x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 = . tan sin lim 3 0 x x x x − → 3 0 lim x x x → x   − =     原式 3 0 tan (1 cos ) lim x x x x − = → 2 1 = 3 2 2 1 0 lim x x x x  = → 例2 求 解 原式 解 原式

常用等价无穷小:当x→0时, sinx w x tanx x, arcsin x w x, 1-coSxwlx 2 思考与练习 1.填空题 D lim sinx 0 2)lim xsin_= I x→)0 X →)∞ lim x sin 0 4)lim(1--)”=e x→>0 n→>00

当x →0时, sin x ～ x , tan x ～ x , arcsin x ～ x , 1− cos x ～ , 2 2 1 x 常用等价无穷小 : 思考与练习 1. 填空题 sin 1) lim _____ ; x x → x = 1 2) lim sin ____ ; x x → x = 0 1 3) lim sin ____ ; x x → x = 1 4) lim(1 ) ____. n n→ n − = 0 1 0 1 e −

2.求limx(x2+1-x) x→)+O 解法1 X 1 原式=lim Im x→+∞√x2+1+xx→)+O 1+2+12 XX 解法2令t=则t→>0+ x 1+t2-1 原式=lim +1一 0 tt->0 0+√1+12+12

2. 求 lim ( 1 ). 2 x x x x + − →+ 解法 1 原式 = x x x x→+ +1+ lim 2 1 1 1 1 lim 2 + + = →+ x x 2 1 = 解法 2 令 , 1 x t =   t t t t 1 1 1 1 lim 2 0 + − → + 2 1 = 则 原式 = 2 2 0 1 1 lim t t t + − = → + 1 1 1 lim 2 0 + + = → + t t → + t 0

123 3. im —++…+ n→>∞ 原式关m+、2、3+…+m"=0 n→0 n n 解原式=lim n(n+1) =lim3(1+ oo 2n n>2n2 作业 利用等价无穷小代换求下列极限: I-coSx 1-coS 2x 1. im 2. lim x→>0x x→>0 siNx

作 业 ? 1 2 3 lim 2 2 2 2 =   + + + +   → n n n n n n  解 原式 2 2 ( 1) lim n n n n + = → ) 1 (1 2 1 lim n n = + → 2 1 = 3. 原式 2 2 2 2 1 2 3 lim lim lim lim 0 n n n n n → → → → n n n n = + + + + = 利用等价无穷小代换求下列极限: 2 0 1 cos lim x x → x − 0 1 cos 2 lim → sin − x x x x 1. 2