西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第十二章 微分方程 12.5 全微分方程

第五节、全微分方程 教学目的:掌握全微分方程成立的充要条件,掌握全微分方程的解法,会用 观察法找积分因子 教学重点:全微分方程的解法,观察法找积分因子 教学难点:全微分方程的解法,观察法找积分因子 教学内容 1.定义 P(x,y)dx +e(,y)ay=0 恰为某一个函数的全微分方程,即存在某个(xy),使有d=P(x,y)ax+g(x,y)a 则称(1)为全微分方程 可以证明a(xy)=C是(1)式的隐式通解 2.解法若F(xy),Q(xy)在单连通域G内具有一阶连续偏导数,条件 是(1)式为全微分方程的充要要条件。 通解为 (x, y)=P(x, y)dx+e(x,y)dy=C 例1求解(5x4+3xy2-y3)a+(3x2y-3xy2+y2)小y=0 解令P=5x2+3x2-y,Q=3x2y-3x2+y 则 此方程为全微分方程。于是 x,y)=(5x+3x2-y2)ax+[y2 3 通解为 3.积分因子 若ax,则(1)式不是全微分方程,但若有一个适当函数=(x,y),使 (1)式乘以A(x,y)后为全微分方程,称函数A(x,y)为积分因子。 一般积分因子不好求,我们只要求通过观察找到积分因子 例方程yx-x=0不是全微分方程,但 dx- xdy dx- xdy 于是将方程乘以y,则有 即y,从而y为其通解。此时y2为其积分因子

第五节、全微分方程 教学目的：掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用 观察法找积分因子 教学重点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 教学难点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 教学内容： 1． 定义 若 （1） 恰为某一个函数的全微分方程，即存在某个 ，使有 ，则称（1）为全微分方程。 可以证明 是（1）式的隐式通解。 2．解法 若 ， 在单连通域G内具有一阶连续偏导数，条件 是（1）式为全微分方程的充要要条件。 通解为 。 例1 求解 解 令 ， 则 此方程为全微分方程。于是 通解为 3．积分因子 若 ，则（1）式不是全微分方程，但若有一个适当函数 ，使 （1）式乘以 后为全微分方程，称函数 为积分因子。 一般积分因子不好求，我们只要求通过观察找到积分因子。 例2 方程 不是全微分方程，但 于是将方程乘以 ，则有 ， 即 ，从而 为其通解。此时 为其积分因子

注意积分因子一般不唯一。 1 如上述方程,若同乘xy有xy 于是d(nx-hny)=0,即y为其通解。xy也是其积分因子。 1.本节讲述了一阶线性微分方程,及贝努利方程的解法,利用常数变易 法,和变量代换法来解微分方程 2.本节讲述了全微分方程的解法,用观察法找积分因子,使之满足全微 分方程的充要条件

注意 积分因子一般不唯一。 如上述方程，若同乘 有 ， 于是 ，即 为其通解。 也是其积分因子。 小结： 1．本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努利方程的解法，利用常数变易 法，和变量代换法来解微分方程。 2．本节讲述了全微分方程的解法，用观察法找积分因子，使之满足全微 分方程的充要条件