西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第十二章 微分方程 12.4 一阶线性微分方程

第四节一阶线性微分方程 教学目的:掌握一阶线性微分方程的形式,熟练掌握其解法;掌握利用变量 代换解微分方程的方法;了解贝努里方程的形式及解法 教学重点:一阶线性微分方程的形式,及解的形式,利用变量代换解微分方程 教学难点:一阶线性微分方程通解的形式,利用变量代换解微分方程 教学内容 阶线性方程 1、定义方程+P(x)y=(x) (1)称为一阶线性微分方程 特点关于未知函数y及其导数y是一次的。 若Q(x)≡0,称(1)为齐次的 若Q(x)≠0,称(1)为非齐次的 如:(1)y+2xy=2xe2 y-2=(x+ x+1 2、解法 当Q(x)=0时,方程(1)为可分离变量的微分方程。 当Q(x)≠0时,为求其解首先把Q(x)换为0,即 +P(x)y=0 称为对应于(1)的齐次微分方程,求得其解 =Ce jAx)x 为求(1)的解,利用常数变易法,用(x)代替C,即y=a(x)eJMa 于是 代入(1),得 P)ax y=) Q(x)Jx+C)。 (3) 3、例1求方程 =(x+1) 的通解 解这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解

第四节 一阶线性微分方程 教学目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量 代换解微分方程的方法；了解贝努里方程的形式及解法 教学重点：一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程 教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 教学内容： 一、一阶线性方程 1、定义 方程 （1）称为一阶线性微分方程。 特点 关于未知函数 及其导数 是一次的。 若 ，称（1）为齐次的； 若 ，称（1）为非齐次的。 如：（1） （2） 2、解法 当 时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当 时，为求其解首先把 换为0，即 （2） 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解 为求（1）的解，利用常数变易法，用 代替 ，即 于是， 代入（1），得 故 。 （3） 3、例1 求方程 （4） 的通解.     解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解

dy 2dx In y= 2In(x+1+In C y=C(x+1)2 (5) 用常数变易法。把C换成(x),即令 y=a(x+1) (x+12+2(x+1) 则有 代入(1)式中得 It=(x+ =二(x+1)2+C 两端积分,得 再代入(4)式即得所求方程通解 (x+12[=(x+1) 方法二、我们可以直接应用(3)式 y=e Je(x)eI dx+c 得到方程的通解,其中 P(x) 1,g(x)=( 代入积分同样可得方程通解 (x+12=(x+1)2+C] 此法较为简便,因此,以后的解方程中,可以直接应用(3)式求解 ui方程 +P(x)y=2(x)(n≠0,D称为贝努里方程 1、定义ax 当n=01时,为一阶线性微分方程。 解法两边同除. dz y 则有dx P(x)z=e(x) 1-n dx

， ， ， （5）     用常数变易法。把 换成 ，即令       ， 则有 ， 代入（1）式中得 ， 两端积分，得 。 再代入（4）式即得所求方程通解 。 方法二、 我们可以直接应用（3）式 得到方程的通解，其中， ， 代入积分同样可得方程通解 ， 此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3）式求解。 二、Bernoulli方程 1、定义 称为贝努里方程。 当 时，为一阶线性微分方程。 2、解法 两边同除 令 ，则有

+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) 为一阶线性微分方程,故 2=eJujarjar (1-)P(x)a (1-x)Q(x)e 贝努里方程的解题步骤 (1)两端同(1-x)y2 (2)代换z=y2 (3)解关于z的线性微分方程 (4)还原 例设可微函数y=f(x)满足方程 f(x)=1+()h f(e (x>0) 求f(x) 解,将方程两边对x求导数得 f(x)=f(x)Inx- f(x) 如+2=y2h 即 此为贝努里方程 用y除方程两边 则有 n f(x)= f(1)=1代入得 x(1-血n2x) 3.利用变量代换解微分方程 例3解方程x+y=y(nx+lny) =1+ dx,于是 =yIn u=-Inu 解得=e,即x=g 例4解方程axx+y

而 为一阶线性微分方程，故 。 贝努里方程的解题步骤 （1） 两端同 （2） 代换 （3） 解关于 的线性微分方程 （4） 还原 例2 设可微函数 满足方程 求 . 解, 将方程两边对 求导数得 , 即 , 此为贝努里方程. 用 除方程两边 令 , 则有 , 故, . 代入得: . 3. 利用变量代换解微分方程 例3 解方程 解 令 ，则 ，于是 解得 ， 即 例4 解方程

解令x+y=,则 axax代入原方程,得 1dt+1 分离变量得 du= dx 两端积分得 w-In u+1F x+ c 以=x+y代入上式,即得 y-In x+y+1F C, 1+x+y 小结:本节讲述了一阶线性微分方程,及贝努力方程的解法,利用常数变易 法,和变量代换法来解微分方程。 作业:《高等数学(同济5)》第282页1、2、3、6、9题

解 令 则 代入原方程，得 。 分离变量得 两端积分得 。 以 代入上式，即得 或 小结：本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努力方程的解法，利用常数变易 法，和变量代换法来解微分方程。 作业：《高等数学（同济5）》第282页 1、2、3、6、9题