西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第十二章 微分方程 12.6 可降阶的高阶微分方程

第六节、可降阶的高阶微分方程 教学目的:掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法 教学重点:三种可降阶的高阶微分方程的求法 教学难点:三种可降阶的高阶微分方程的求法 教学内容 f(x)型 特点:不显含未知函数及y…y 解法 P(x) 则y()=P 代入原方程,得 P=∫(x)连续积分n,可得通解 例1求方程ym=2x的通解 设y"=P(x), 代入原方程P=2x 解得 即 同理 12 yn)=f(x,y4),…,y23)型 特点:不显含未知函数y及y…y 法:令y1=P(x) 则y+)=P 代入原方程,得 p(4)=f(x,P(x)…,F-(x)求得P(x), 将y局=P(连续积分可得通解 特别y"=f(x,y)型 特点:不显含未知函数y 令y′=P(x,y”-P, 代入原方程,得 P=f(r, P(x)) 例2求方程x3)-y4)=0的通解 解设y4)=P(x,y3=P(x) 代入原方程xP-P=0,(P≠0) 解线性方程,得 P=C1x即y3)=Cx 两端积分,得 G1

第六节、可降阶的高阶微分方程 教学目的：掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法 教学重点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 教学难点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 教学内容： 一、 型 特点： 解法： 代入原方程, 得 可得通解. 例1 解 代入原方程 解得 同理 二、 型 特点： 解法： 代入原方程, 得 可得通解. 特别 型 特点： 解法： 代入原方程, 得 例2 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得

原方程通解为y=d1x3+a2x2+d3x2+dx+d 例 解设y’=P(x),则y"=P", 代入原方程xP-P=x2(一阶线性非齐次方程) 解之有P=x2+C1x 3+x+C2 y)=f(0y)…,y)特别y”=f(y,y) 特点:右端不显含自变量x 解法:设y=p(y) 则y=42.pa dp dp 代入原方程得到新函数P(y(n-1方程, 求得其解为dx =P(y)=y,C1,…,Cx1) x+C 原方程通解为」∞y,C1,…Cx 例4求方程y-y2=0的通解 解设y=0则y=p dp p2=0,即P(y"-P)=0, 代入原方程得 由 可得 ax,原方程通解为y=c2g 例5求方程y”+-y2=0的通解 解一认定为:y"=f(y,)型 则y 中 d dy dp 设y=p(y) dy dx 代入原方程得a (可分离变量的方程) 解之有P=±1-(y-c1) dx (可分离变量的方程) 解之有y=sm(x+C1)+C2 解一若认为:y"=f(x,)型 令y′=P(x),y"=P, 代入原方程得P+√-p2=0 解之有P=c0(x+C1)即y=cosx+C1)

原方程通解为 例3 解 则 代入原方程 (一阶线性非齐次方程) 解之有 则 有 三、 特别 特点： 解法： 求得其解为 原方程通解为 例4 解 代入原方程得 原方程通解为 例5 解一 认定为： 型 代入原方程得 （可分离变量的方程） 解之有 即 （可分离变量的方程） 解之有 解一 若认为： 型 代入原方程得 解之有 即

则y

则