西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）1.3 函数的极限

第1章 §1.3函数的极限 燕列雅权豫西王兰芳李琪

§1.3 函数的极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第1章

函数极限的定义 对于y=f(x),自变量的变化过程有六种形式 (1)x->∞(2)x->+∞ (3)x→)-0(4)x→x0 (5)x→x0(6)x→>x0 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 2.自变量趋于有限值时函数的极限

一、函数极限的定义 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 2. 自变量趋于有限值时函数的极限 对于 y = f (x), 0 (4) x x → 0 (5) x x → + 0 (6) x x → − (1) x →  (2) x → + (3) x → − 自变量的变化过程有六种形式:

1.自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1设函数f(x)当x大于某一正数时有定义, 若VE>0,3X>0,当x>X时,有f(x)-4|时的极限记作 imf(x)=4或f(x→A(当x→>∞) x→00 xX团-8X时,函数yf(x)的图形完全落在以 直线y=4为中心线,宽为2e的带形区域内

− X X A+  A− o x y y = f (x) A 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定义, 若 X  0, 当 x  X 时,有 f (x) − A  , 则称常数 时的极限, f x A x = → lim ( ) 或 f (x) → A (当x →) 几何解释: x  −X 或x  X A−  f (x)  A+ 记作   0, A 为函数 f (x)当x →  当xX时，函数y=f (x)的图形完全落在以 直线y=A为中心线，宽为2ε的带形区域内．

例1.证明lim-=0. y x→>0X X 让: 0 x 故v>0欲使-0即可 取X=1,当1x1>X时就有1-00,3X>0,当x>X时,有 x→)+o f(x)A0,3X>0,当x<-Y时,有 x→)-00 f(x)-4|<6

例1. 证明 0. 1 lim = x→ x 证: 0 1 − x x 1 = 取 , 1  X = 当 x  X 时, 1 0 , x −   因此 1 lim 0. x→ x 就有 = 故   0, 欲使 0 , 1 −   x 只要 1 x   即可. o x y x y 1 = 两种特殊情况 : f x A x = →+ lim ( )   0, X  0, 当 x  X 时, 有 f (x) − A   f x A x = →− lim ( )   0, X  0, 当 x  −X 时, 有 f (x) − A  

2.自变量趋于有限值时函数的极限 (1)x→>x0时函数极限的定义 引例测量正方形面积(真值:边长为x0;面积为A) 直接观测值确定直接观测值精度δ: 边长x x-x0|< 间接观测值 面积x2任给精度,要求x2-A<E 我们称集合U(a,δ)={x|a-<x<a+6 xx-a< 点a的δ邻 a-s a ats

2. 自变量趋于有限值时函数的极限 (1) 0 x → x 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 ; 面积为A ) 0 x 边长 面积 2 x 直接观测值 间接观测值 任给精度  , 要求 x − A   2 确定直接观测值精度  : x − x0   0 A x x 点a的  邻域. a (a,  ) =  x a −  x  a +  =  x x − a    ( ) a − a + 我们称集合

称集合U(a,δ)={x100,36>0,当0x0时的极限,记作 limf(x)=A或f(x)→>A(当x->x) x->x0 即imf(x)=AVE>0,38>0,当x∈∪(x0,) x→>x 时有f(x)-A<E

定义2 设函数 f (x) 在点 0 x 的某去心邻域内有定义 ,   0,   0, 当 0  x − x0   时, 有 f (x) − A   则称常数 A 为函数 f (x) 当 0 x → x 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 ( ) ( ) 0 f x → A 当x → x 即   0,   0, 当 ( , ) x x0    时, 有 若 记作 f (x) − A   f x A x x = → lim ( ) 0 U(a,  ) = x   0  x − a   去心  邻域. 其中, a 称为邻域中心 ,  称为邻域半径 . 左  邻域 : (a − , a), 右  邻域 : (a , a + ). 称集合 为点a的

几何解释: zf(x) 当0<x-x0<δ时, A+- 函数yf(x)的图形完全落 A-8 在以直线=A为中心线宽 0-ox10+x 为2的带形区域内 这表明: 极限存在 函数在局部有界 注意: 1函数极限与f()在点x是否有定义无关 2.与任意给定的有关

1.函数极限与f (x)在点x0是否有定义无关 2.δ与任意给定的ε有关 极限存在 函数在局部有界 这表明: 注意: 几何解释: x0 + A+ A− A x0 x y y = f (x) 函数y=f (x)的图形完全落 在以直线y=A为中心线,宽 为2ε的带形区域内． 当 0  x − x0   时

例2.证明m7 =2 x→1x-1 证f(x)-A 2 x+1-2=x-1 X一 故vE>0,取δ=,当0x0 x→>x0 x→0 x→>0

例2. 证明 0 lim x x c c → = 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证 f (x) − A 2 1 1 2 − − − = x x = x +1− 2 故   0, 取  =  , 当 0  x −1   时 , 必有 −   − − 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x = x −1 由极限的定义容易证明 (c为常数), 0 0 0 0 lim , limsin 0 , limcos 1 x x x x x x x x → → → = = =

(2)左极限与右极限 左极限:f(x0-0)=mf(x)=A x→)x VE>0,3δ>0,当x∈(x0-6,x0) 时有f(x)-A|x 0 VE>0,3δ>0,当x∈(x0,x0+6) 时,有|f(x)-4|x0 x->X0 xoXo

(2) 左极限与右极限 左极限 : 0 f x( 0) − = f x A x x = → − lim ( ) 0   0,   0, 当 ( , ) 0 0 x x − x 时, 有 f (x) − A   . 右极限 : 0 f x( 0) + = f x A x x = → + lim ( ) 0   0,   0, 当 ( , ) x x0 x0 + 时, 有 f (x) − A   . 由定义2以及左右极限的定义容易得到 f x A x x = → lim ( ) 0 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0

例3.设函数 x-1.x0 y=x 讨论x→0时f(x)的极限是否存在 解因为 lim f(x)=lim(x-1)=-1 x>0 x->0 lim f(x=lim (x+1)=I x>0 x→0 显然f(-0)≠f(0+0)所以imf(x)不存在 x>0

例3. 设函数     +  = −  = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x x x f x 讨论 x →0 时 f (x) 的极限是否存在 . x y o −1 y = x −1 1 y = x +1 解 因为 lim ( ) 0 f x x→ − lim ( 1) 0 = − → − x x = −1 lim ( ) 0 f x x→ + lim ( 1) 0 = + → + x x =1 显然f f (0 0) (0 0) , −  + 所以 lim ( ) 0 f x x→ 不存在