西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）3.7 曲率

第七节 第三章 平面曲线的曲率 曲线的弯「与切线的转角有关 曲程度与曲线的弧长有关 主要内容: 弧微分 曲率及其计算公式 △a 曲率圆与曲率半径 906 目录上贝下页返回结束

曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径  M  M M  平面曲线的曲率 第三章

弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数,其图形为AB 弧长s=AM=s(x) yI y=f(x)B M △sMM′MM M △ △xMM△x MM√Ax)2+(4y)2 MM b x x+△x MM △ 1+ MM MM △x m △x->0MM s(x)=lim△s +(y) △x->0 △ 906 目录上贝下页返回结束

设 y  f (x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s  AM  s(x) x s   M M M M    x M M    M M M M    x x y      2 2 ( ) ( ) M M M M     2 1 ( ) x y    x s s x x       0 ( ) lim 2  1 ( y ) x A B y  f (x) a b x o y x M x  x M  y lim 1 0       M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

)=√1+(y)2 ds=1+(y)2dx o ds=v(dx)2+(dy) x=x(t 若曲线由参数方程表示1y=y( 则弧长微分公式为ds=x2+y2dt 几何意义:d=M M/Id d sin d ds ds o xx+dx x 906 目录上贝下页返回结束

则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2     s (x)  2 1 ( y ) ds 1 ( y ) dx 2     或 2 2 ds  (dx)  (dy) x  dx dx o x y x M dy T  几何意义: ds  MT cos ; d d   s x sin d d  s y 若曲线由参数方程表示:      ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束

、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为As,对应切线 转角为△a,定义 弧段△s上的平均曲率 K、△a M △s △ 点M处的曲率 K lin△a da △s→>0△s ds 注意:直线上任意点处的曲率为0 906 目录上贝下页返回结束

在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线  , 定义 弧段s上的平均曲率 s K      M M  s 点 M 处的曲率 s K s       0 lim ds d  注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为

例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率 解:如图所示, △s=R△a Aa △a1 R ∴K m △sR 可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害 R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小 906 目录上贝下页返回结束

解: 如图所示 , s  R s K s        0 lim R 1  可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .  s R M M   机动 目录 上页 下页 返回 结束

曲率K的计算公式 设曲线弧y=f(x)二阶可导,则由 Usda ds tan d=y (设 <a 得a= arctan y 2d da =(arctan y,)'dx 1+y 又ds=√1+y2dx 故曲率计算公式为K (1+y2) 当y<<1时,有曲率近似计算公式K≈|y” 906 目录上贝下页返回结束

当 y  1时, 有曲率近似计算公式 tan  y  ) 2 2 (    设    得   arctan y  d  (arctan y )dx x y y d 1 2     ds 1 y dx 2    故曲率计算公式为 s K d d  2 3 (1 ) 2 y y K     K  y  又 设曲线弧 y  f (x) 二阶可导, 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: )若曲线由参数方程 ∫x=x()给出, ly=y(t K (2)若曲线方程为x=(y)2则 K (1+x2)2 K 906 目录上贝下页返回结束

(1) 若曲线由参数方程      ( ) ( ) y y t x x t 给出, 则 2 3 (1 ) 2 y y K     (2) 若曲线方程为 x ( y),则 2 3 (1 ) 2 x x K     2 3 ( ) 2 2 x y xy xy K        机动 目录 上页 下页 返回 结束

曲率圆与曲率半径 设M为曲线C上任一点,在点y D(a, B) M处作曲线的切线和法线,在曲线 T R、 的凹向一侧法线上取点D使 M(x,y DM=R K 把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同 906 目录上贝下页返回结束

T y o x D( ,  ) R M (x, y) C 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 K DM R 1   把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.弧长微分d=1+y2dx或d=(dx)2+(dy)2 2.曲率公式K da d (1+y 3.曲率圆 曲率半径R 1(1+y2) K 906 目录上贝下页返回结束

1. 弧长微分 ds 1 y dx 2    或 2 2 ds  (dx)  (dy) 2. 曲率公式 s K d d  2 3 (1 ) 2 y y     3. 曲率圆 曲率半径 K R 1  y y     2 3 (1 ) 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束