西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）11.2 格林公式

§10.3格林公式 XD

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§10.3格林公式 回忆在一元函数微积分中最重要的么式 牛顿-莱布尼兹公式(微积分基本公式) ∫F(x)d=[F(x) 该公玉的重要意义: 它建立了微分与积分的关系,为 定积分的计算提供了一种简单而有 D L 效的方法 2该公式揭示了函数在区间内部与 边果之间的内在联系

• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 1.它建立了微分与积分的关系，为 定积分的计算提供了一种简单而有 效的方法 §10.3 格林公式 2.该公式揭示了函数在区间内部与 边界之间的内在联系 牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本公式）      b a b a F ( x )dx F ( x ) 该公式 的重要意义 ： 回忆在一元函数微积分中 最重要的公式 ： y O x D L O a b x

、公式的建立 牛顿-莱布尼兹公式 ∫F(x)dx=[F(x)] 牛顿-莱布尼兹公式在平面区域的推广 ∫j(???)d=∮Px)d+(x 其中L是D的正向边界 正向边界定义 D 人沿边界走,区域在左侧

• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 牛顿-莱布尼兹公式      b a b a F ( x )dx F ( x ) 一、公式的建立    D dxdy  其中： L是 D的正向边界 牛顿-莱布尼兹公式 在平面区域的推广  L y O x D L P(x, y)dx  Q(x, y)dy 正向边界定义 人沿边界走，区域在左侧。 ? O a b x ? ?

在矩形区域上探索格林公式的形式 00 oP Ox-a,)rdy=手P(x,y)dx+(x,y)y(格林公式) P(x,y)dx= P(x, d)dx+ P(x, c)dx 「P(x,d)-P(x,c)ldx d aP J dy ldx aP ②D④ L ra@ dx dy 两式相加即知被积函数的形式

• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D c d L a b 探索格林公式的形式    D dxdy    L P(x, y)dx Q(x, y)dy  L P(x, y)dx P x d x a b ( , )d       b a [P(x, d) P(x, c)]dx             b a d c y x y P d d      D x y y P d d  L Q(x, y)dy     D x y x Q 同理 d d y P x Q      在 矩形区域 上探索格林公式的形式 P x c x b a ( , )d   两式相加即知被积函数的形式 ① ② ③ ④ （格林公式）

格林完理设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线,L是D的 正向边界,P(x,y,(x,以QQP ,在D上连续,则 ag_ aDdy P(x,y)dx+Q(x,y)dy(格林公式) ax a 证(1)若D为凸形区域,则 x=x,(y) B ag dx dy= dy x2(y) oe dx a Jx1(y)ax D le(x,(),)-Q(x,(), y)ldy L ax()+x(),y x B(,ydy 同理(=P(x),两式相加即得(格林公式)

• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D L 格林定理      d c x y x y x x Q dy d ( ) ( ) 2 1    D x y x Q d d   L P(x, y)dx     D x y y P 同理 d d y P x Q P x y Q x y     ( , ), ( , ), , 设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线，L是D的 正向边界， 在D上连续，则 （格林公式）   d c Q[x ( y), y]dy 2  L Q(x, y)dy   c d Q[x ( y), y]dy 1 证 (1) 若 D为凸形区域 c d A B ( ) 2 x  x y ( ) 1 x  x y ，两式相加即得（格林公式）             D x y y P x Q d d    L P(x, y)dx Q(x, y)dy ,则    d c [Q(x ( y), y) Q(x ( y), y)]dy 2 1 

格林完理设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线,L是D的 正向边界,P(x,y,(x,以QQP ,在D上连续,则 ag_ aDdy P(x,y)dx+Q(x,y)dy(格林公式) ax a 证(1)若D为凸形区域,则(格林公式)成立 (2)若D为一般单连通区域(如图)y L 小可划分D为D1和D2,于是有 D Li 两式相加即得人格林公式)

• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D L 格林定理 y P x Q P x y Q x y     ( , ), ( , ), , 设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线，L是D的 正向边界， 在D上连续，则 （格林公式） 证 (1) 若 D为凸形区域 两式相加，即得（格林公式） (2) 若 D为一般单连通区域 (如图) 则可划分 D为D1和D2 ,于是有       1 1 2 2 , D L D L D1 D2 L1 L2             D x y y P x Q d d    L P(x, y)dx Q(x, y)dy ,则（格林公式）成立

格林完理设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线,L是D的 正向边界,P(x,y,x,以QQP ,在D上连续,则 们(2时)(格林公 证(1)若D为凸形区域,则(格林公式)成立 (2)若D为一般单连通区域,则(格林公式)成立 者D为一般多连通线(如图) 则可划分D为D1和D2,于是有 J 两式相加即得(格林公式)证毕

• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D L 格林定理 y P x Q P x y Q x y     ( , ), ( , ), , 设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线，L是D的 正向边界， 在D上连续，则 （格林公式） 证 (1) 若 D为凸形区域 ,则（格林公式）成立 两式相加，即得（格林公式） (2) 若 D为一般单连通区域 则可划分 D为D1和D2 ,于是有       1 1 2 2 , D L D L D1 D2 L1 L2 (3) 若 D为一般多连通域 (如图)             D x y y P x Q d d    L P(x, y)dx Q(x, y)dy ,则（格林公式）成立 证毕

二、格林公式的应用 从国→○→→证明了 们2=+)(格公 例1计算积分y(esmy-p)dx+ (e cos y-1 曲线x+y=1围成的区域D的正向边界。 (e sin y-y)dx+(e cos y-1)dy eveosyfef cosy+1)drdy X#A+√2·N2+2

• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。 1 1 -1 -1 L D y O x 二、格林公式的应用 （格林公式） 从 证明了： 例1 计算积分     L x x (e sin y y)dx (e cos y 1)dy 解   D x (e cos y y x y x  e cos  1) d d  A  2  2  2             D x y y P x Q d d    L P(x, y)dx Q(x, y)dy     L x x (e sin y y)dx (e cos y 1)dy ② ① ③ ④

例2求星形线L:x=cost,y=sin所界图形的面积。 解A ao aP ∫ rai dax ay L dy=3 cos tsin tdt 1212Icost-cos]dt 31丌531x)3兀 =12°.- 4226422)8 它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3从它出发,可以导出数学物理中的许多重要公式 4它的应用范围可以突破右手系的限制,使它的应用 更加广泛,而这只需要改变边界的正向定义即可。 △区

• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 例2 求星形线 L x t y t 3 3 ：  cos ,  sin 所界图形的面积。 解   D A dxdy   L xdy    2 π 0 4 6 12 [cos t cos t]dt   2π 0 4 2 3 cos tsin tdt 8 3 2 2 1 4 3 6 5 2 2 1 4 3 12                  y O x D L 1 1 -1 -1 重要意义： 1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式 更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。              D x y y P x Q d d