西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）5.1 定积分的概念与性质

第5章 §5.1定积分的概念与性质 燕列雅权豫西王兰芳李琪

§ 5.1 定积分的概念与性质 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第5章

定积分问题的引入 二、定积分的定义 定积分的性质

一、 定积分问题的引入 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质

定积分问题的引入 矩形面积=ah h 三角形面积Lah 2 梯形面积=(a+b) h 圆面积=xr2

一、定积分问题的引入 矩形面积 a h = ah a h 梯形面积 b 2 h = + ( a b ) a 三角形面积 a h h 2 1 = 圆面积 2 =  r r

如图所示图形的面积如何 计算呢? y=fux) W 1.曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y=f(x)(f(x)≥0)、x轴 以及两直线x=a,x=b 所围成,求其面积A o a x

1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y = f (x) ( f (x)  0) 、x 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 如图所示图形的面积如何 计算呢？ x a x b = = , 轴 a b x y o a b x y o y=f(x) A=?

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值)

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 播放 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

解决步骤: 1)分割(大化小).在区间a,b中任意插入n-1个分点 a=0 <X1 <X<...<X 1<X b 用直线x=x1将曲边梯形分成n个小曲边梯形; 2)取近似(常代变.在第个窄曲边梯形上任取 5;∈[x=1,x2],作以[x-1,x 为底,f(51)为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替 相应窄曲边梯形面积△4,dax1xbx 得 △4≈f(5)△x2(△x=x-x1i=1,2,…n)

1 x i x i−1 a x b x y o 解决步骤 : 1)分割(大化小). 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a = x0  x1  x2  xn−1  xn = b [ , ] i i 1 i x x   − 用直线 i x = x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2)取近似(常代变). 在第i 个窄曲边梯形上任取 ,作以 [ , ] i 1 i x x − 为底 , ( )i f  为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替 相应窄曲边梯形面积 , Ai 得 ( ) ( )  i  i  i  i = i − i−1 A f  x x x x , i =1,2,  ,n )  i

3)求和近似和 A=∑A41∑f()Ax 4)取极限.令=max{Ax},则曲边梯形面积 1≤i0i =1im∑f()Ax 2→>0 o a x1 xixi 6x 5

3) 求和(近似和).  = =  n i A Ai 1  =   n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 max{ }, 1 i i n = x    则曲边梯形面积  → = =  n i A Ai 1 0 lim   → = =  n i i i f x 1 0 lim ( )  a b x y o 1 x i x i−1 x  i

2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动已知速度v=v(t)∈C[,T2 且v(1)≥0,求在运动时间内物体所经过的路程s T t, T 解决步骤: 1)分割(大化小在[,T2]中任意插入n-1个分点 将它分成n个小段[11,t](=1,2,…,n),在每个小 段上物体经过的路程为△s;(i=12,…,m) 2)取近似常代变).任取5∈[1,1]以(代替变速 得s≈v(5)A1(i=1,2,…,m)

2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, ( ) [ , ], C T1 T2 v = v t  且 v(t)  0, 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 已知速度 o T1 T2 t i−1 t i t 解决步骤: 1) 分割(大化小). [ , ], i i 1 i t t 任取  − 将它分成 [ , ]( 1, 2, , ), t i−1 t i i =  n 在每个小 2) 取近似(常代变). 以 ( )代替变速 , i v  得 i i i s  v( )t [ , ] 1 , 在 T1 T2 中任意插入 n − 个分点 s (i 1, 2, , n)  i =  (i =1, 2,  ,n) n 个小段 段上物体经过的路程为

3)求和近似和 s≈∑v2)△ 4)取极限 s=lim∑v(5)△t(4=max△t) 2->0 1≤i<n 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同: “分割,取近似,求和,取极限 所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限

3) 求和(近似和). i n i i s  v t =1 ( ) 4) 取极限 . i n i i s = v t → =1 0 lim ( )  ( max ) 1 i i n = t    上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 取近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限

二、定积分的定义 设函数f(x)定义在[a,b上,若对[a,b]的任一种分法 a=x00时,∑f(5)Ax总趋于确定的极限I, ≤l≤n i=1 则称此极限I为函数f(x)在区间[a,b上的定积分, 记作f(x)dx o a x1 xixi bx b 即 L f(r)dx=lim Z(S)Ax 此时称∫(x)在[a,b1上可积

o a b x 二、定积分的定义 设函数 f (x)定义在[a,b]上,若对[a, b]的 任一种分法 , a = x0  x1  x2  xn = b ,  i = i − i−1 令 x x x 任取 [ , ] , i  i i−1  x x  i 1 max{ } 0 i i n  x   =  → i n i i  f x =1 ( ) 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分, 1 x i x i−1  x b a f (x)dx 即 =  b a f (x)dx i n i i  f x → =1 0 lim ( )  此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 I 为函数 只要 时