西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）5.4 反常积分

第四爷 第五章 反常积分 积分限有限 常义积分 被积函数有界 推广 反常积分(广义积分) 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 s°e8

二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章

无穷限的反常积分 引例曲线y=和线x=1及x轴所围成的开囗曲 边梯形的面积可记作 dx A 其含义可理解为 b dx_lim b→J12b→+ox X b m b-)+oo 6 s°e8

一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 2 1 x y = A 1 可记作  + = 1 2 d x x A 其含义可理解为  →+ = b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim       = − →+       = − b→+ b 1 lim 1 =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.设f(x)∈C[a,+∞),取b>a,若 lim f(x)dx b→》+∞ 存在,则称此极限为∫(x)的无穷限反常积分,记作 f(x)dx= lim f(x)dx b→+∞a 这时称反常积分f(x)d收敛;如果上述极限不存在 就称反常积分f(x)d发散 类似地,若f(x)∈C(-∞,b],则定义 f(x)dx= lim f(r)dx s°e8

定义1. 设 f (x)C[a, + ), 取b  a, 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C(−, b], 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若f(x)∈C(-∞,+∞),则定义 f(x)dx=lim f(x)dx+ lim f(x)dx b→>+ (c为任意取定的常数 只要有一个极眼不存在,就称∫()d发散 下页返回结束

若 f (x)C(−, + ), 则定义 f x x c a a lim ( )d  →− f x x b b c lim ( )d  →+ + ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若F(x)是f(x)的原函数,引入记号 F(+∞)=limF(x);F(-∞)=limF(x) x→)+ 则有类似牛-莱公式的计算表达式 +∞ fo X)ax F(x)=F(+∞)-F(a b f(x)dx= F(x)=F()-FGoo) ∞ f(x)dx=F(x)=F(+∞)-F(-∞) s°e8

引入记号 F( ) lim F(x) ; x→+ + = F( ) lim F(x) x→− − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d  + = F(x) = F(+) − F(a) f x x b ( )d − = F(x) = F(b) − F(−) f (x)dx  + − = F(x) = F(+) − F(−) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

+ dx 例1计算反常积分 1+x too dx ∝ 解: arctan y 1+x 1+X 2 O xd 思考 20对吗? 1=01+x +∞xdx 分析: (1+x2)原积分发散 01+x22 注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零”的性质否则会出现错误 °e8

例1. 计算反常积分 解: + − = [arctan x] ) 2 (  − − 2  = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y 2 1 1 x y + = 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误

例2.证明第一类p积分 当p>1时收敛;p≤l 时发散 证当p=1时有 dx =[lnx]=+0 当p≠1时有 p1+∞ 因此当P1时反常积分收敛,其值为 当p1时反常积分发散 s°e8

例2. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有   + = a ln x = + − +    −  = a p p x 1 1 当 p ≠ 1 时有 p 1 , p 1 1 1 − − p a p 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . +  , 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 ; 1 1 − − p a p 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3计算反常积分lte"dt(p>0 解:原式=( 0 下页返回结束

例3. 计算反常积分 解: pt e p t − 原式 = (− ) 1 2 pt e p − − 2 1 p = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无界函数的反常积分 引例曲线y=x 与x轴,y轴和直线x=1所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 l dx A 0 √x 其含义可理解为 A= lim Im →0+√xg→>0 X lim2(1-√E)=2 0 下页返回结束

二、无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 +  → = 1 0 d lim   x x A   1 lim 2 0 x → + = lim 2(1 ) 0   = − → + = 2 x y 1 = 0 A x y  机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义2设f(x)∈C(a,b,而在点a的右邻域内无界 取>0,若极限imf(x)d存在,则称此极限为函 E-)0+a+E 数f(x)在,b上的反常积分,记作 f(x)dx= lim f(x)dx E→)0+Ja+E 这时称反常积分[f(x)dx收敛;如果上述极限不存在 就称反常积分f(x)dx发散 类似地,若f(x)∈C[a,b)而在b的左邻域内无界 则定义 f(x)dx= lim f(x)dx E→0+a 下页返回结束

定义2. 设 f (x)C(a, b], 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函