西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）2.3 高阶导数

第2章 §2.3高阶导数 燕列雅权豫西王兰芳李琪

§2.3 高阶导数 第2章 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪

一、高阶导数的概念 物体做变速直线运动s=0)则速度1=4,即=S dy d ds 加速度a= ),即a=(s) dtdt dt 定义若函数y=f(x)的导数y=f(x)可导则称 d f(x)的导数为/(x)的二阶导数,记作y或ax2即 d dv y"=(y)或 dx dx dx 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推, n-1阶导数的导数称为n阶导数,分别记作 4 y,y,…,y )哉dy 或 dx dxt dx

一、高阶导数的概念 s = s(t) ,则速度 即 v = s  加速度 , d d t s v = t v a d d = ) d d ( d d t s t = , 即 a = (s ) 物体做变速直线运动 定义 若函数 y = f (x) 的导数 y  = f (x) 可导, 或 , d d 2 2 x y 即 y  = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , y  , , (4) y ( ) , n  y 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 y  依次类推 , 分别记作 则称 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d 

二、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan x,求f”(0,fm(0 解 2x y-1+X (,2) 1+x 2x 2(3x2-1) (1+x2)2 (1+x21x0=0;f"0)=2x-D 2x f"(0) 2 (1+x =0

二、 高阶导数求法举例 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y +  = ) 1 1 ( 2  +  = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2  + −  = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + −   = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + −  = x x x = 0; f = −2. 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数

例2设y=x0(a∈R,求ym 解 y =o y"=(ox)=a(a-1)x J=(a(0-1)x -2 (o-1)(0-2)x y=a(a-1)…(a-n+1)x"(n≥1) 若a为自然数n,则 y"=(x)m=nh,y(n)=(n!)=0

例 2 ( ), . (n) 设 y = x  R 求y  解 −1 y = x( ) 1  =   − y x 2 ( 1) − =   − x  3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) =   −  − x 2  =   −  − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) =   −  − +  − y n x n n  n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) =  + y n n = 0

注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出m阶导数(数学归纳法证明) 例3设y=ln(1+x),求y) 1 解y= y 1+x 1+x) 2! 3! (1+x)3 (1+x)

例3 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 注意: x y +  = 1 1 2 (1 ) 1 x y +  = − 3 (1 ) 2! x y +  = 4 (4) (1 ) 3! x y + = −  求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)

例4设y=sinx,求y) 解y=c0sx=sin(x+) y=cos(x+ =sin(x++=sin(x+2. 7 C 22 2 J=C0s(x+2.2 )=sin(x+3·) 。· y(n)=sin(x+n T 同理可得(c0sx))=co(x+n5)

例4 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin(  = x + ) 2 cos(  y = x + ) 2 2 sin(  +  = x + ) 2 sin( 2  = x +  ) 2 cos( 2  y = x +  ) 2 sin( 3  = x +   ) 2 sin( ( )  y = x + n n ) 2 (cos ) cos( ( )  x = x + n n 同理可得

例5设y=e,求y 解 ax ax ae 例6设y=ln(1+x),求y 2 解 1+x (1+x +x 例7设y=a0+4x+a2x2+…+an2x0,求y0 解 =a1+2a2x+3a 2 +…+10a 9 21a2+3.2a2x+…+10.9ax3 依次类推,可得 10) =10!a 10

3 . a x y a e  = 例5 设 求 解 解 , ax y = e y  . , ax y  = ae , 2 ax y  = a e 例6 设 y = ln(1+ x ) , 求 y  . , 1 1 x y +  = , (1 ) 1 2 x y +  = − 3 2 . (1 ) y x  = + 设 2 10 0 1 2 10 y a a x a x a x = + + + + , 求 ( ) 10 y . 解 y  = a1 +2a2 x + 9 10 +10a x y  = 21a2 + a x 3 2 3  8 10 + +  10 9a x 依次类推 , (10) 10 y a = 10!+ 2 3 3 a x 例7 可得

2.高阶导数的运算法则: 设函数u和具有m阶导数,则 (1)(a±v)()=()±v0 (2)(Cu)n)=Cu n (3)(uv)n=uv+nuv+nn (n-2) 2! n(n-1)…(m-k+1)a4+…+mxm ! ∑Cn kan(n-k)。,(k) 莱布尼兹公式 k=0

2. 高阶导数的运算法则: 设函数u和v具有n阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u  v = u  v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − =  + + − − + +  −  = +  +   莱布尼兹公式