西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第十二章 微分方程 12.2 可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程 教学目的:熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程的解法 教学重点:可分离变量方程与齐次方程的解法 教学难点:可分离变量方程与齐次方程的解法. 教学内容 本节开始,我们讨论一阶微分方程 y'=f(x,y) (1 的一些解法 阶微分方程有时也写成如下的对称形式 P(x, y)dx +e(x,y)dy=0 在方程(2)中,变量x与y对称它既可以看作是以为x自变量、y为未知函数的方程 ￠P(x,y) Q(x,y)(Q(x,y)≠0) 也可看作是以x为自变量、y为未知函数的方程 dx e(x,y) 中P(x,y)(P(x,y)≠0) 在第一节的例1中,我们遇到一阶微分方程 dy= 2 把上式两端积分就得到这个方程的通解: +c 但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如,对于一阶微分方程 就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程(3)的右端含有 未知函数y积分 求不出来。为我解决这个困难,在方程(3)的两端同时乘以y,使方程(3)变为 = 2xdx 这样,变量x与y已分离在等式的两端,然后两端积分得 1 +C 其中C是任意常数

第二节 可分离变量的微分方程 教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程的解法. 教学重点：可分离变量方程与齐次方程的解法. 教学难点：可分离变量方程与齐次方程的解法. 教学内容： 本节开始,我们讨论一阶微分方程                             (1) 的一些解法. 一阶微分方程有时也写成如下的对称形式: (2) 在方程(2)中,变量 与 对称,它既可以看作是以为 自变量、 为未知函数的方程 , 也可看作是以 为自变量、 为未知函数的方程 , 在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程 ， 或 把上式两端积分就得到这个方程的通解： 。 但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程 （3） 就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有 未知函数 积分 求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以 ，使方程（3）变为 ， 这样，变量 与 已分离在等式的两端，然后两端积分得 或 （4） 其中C是任意常数

可以验证,函数(4)确实满足一阶微分方程(3),且含有一个任意常数,所以它 是方程(3)的通解 般地,如果一个一阶微分方程能写成 go)dy=f(xdx 的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含y的函数和,另一端只含x的函数和 ax,那么原方程就称为可分离变量的微分方程 假定方程(5)中的函数g(y)和∫(x)是连续的,设y=9(x)是方程的解,将它代 入(5)中得到恒等式 g∝(x)]y(x)ar=f(x)ax 将上式两端积分,并由y=9(x)引进变量y,得 go)y=f(x)dx 设G()及F(x)依次为g()和f(x)的原函数,于是有 (y)=F(x)+C 因此,方程(5)满足关系式(6)。反之,如果y=(x是由关系到式(6)所确定的 隐函数,那么在g(≠0的条件下,y=x)也是方程(5)的解。事实上,由隐函 数的求导法可知,当g()≠0时 F(x) f(x) G()g() 这就表示函数y=(x)满足方程(5)。所以如果已分离变量的方程(5)中g(和 J(x)是连续的,且g(y)≠0,那么(5)式两端积分后得到的关系式(6),就用隐式 给出了方程(5)的解,(6)式就叫做微分方程(5)的隐式解。又由于关系式(6)中 含有任意常数,因此(6)式所确定的隐函数是方程(5)的通解,所以(6)式叫做微 分方程(5)的隐式通解 例1求微分方程 dy =2X 的通解。 解方程(7)是可分离变量的,分离变量后得 y 两端积分 得 从而 y 2+C=±aC 又因为土e仍是任意常数,把它记作C便得到方程(7)的通解 例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量就不 断减少,这种现象叫做衰变。由原子物理学知道,铀的误变速度与当时未衰变的原子的 含量M成正比。已知t=0时铀的含量为M0,求在衰变过程中含量M()随时间变化的 规律

可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它 是方程（3）的通解。 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 （5） 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 的函数和 ，另一端只含 的函数和 ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。 假定方程（5）中的函数 和 是连续的，设 是方程的解，将它代 入（5）中得到恒等式 将上式两端积分，并由 引进变量 ，得 设 及 依次为 和 的原函数，于是有 （6） 因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果 是由关系到式（6）所确定的 隐函数 ，那么在 的条件下， 也是方程（5）的解。事实上，由隐函 数的求导法可知，当 时， 这就表示函数 满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中 和 是连续的，且 ，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式 给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中 含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微 分方程（5）的隐式通解。 例1 求微分方程 （7） 的通解。 解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得 两端积分 得 从而 。 又因为 仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解 。 例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不 断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的 含量M成正比。已知 时铀的含量为 ，求在衰变过程中含量 随时间变化的 规律

dM 解铀的衰变速度就是M(对时间t的导数d。由于铀的衰变速度与其含量成正 比,得到微分方程如下 (8) 其中烈(元>0)是常数,叫做衰变系数。A前的负号是指由于当t增加时M单调减少,即 dM 0 at的缘故。 由题易知,初始条件为 M10=M 方程(8)是可以分离变量的,分离后得 dM _-hdt M 两端积分 ∫-小( 以血nC表示任意常数,因为M>0,得 In M=-At+In C 即 M=Ce 是方程(8)的通解。以初始条件代入上式,解得 M=Ce°=C 故得 M =Moe 由此可见,铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减

解 铀的衰变速度就是 对时间 的导数 。由于铀的衰变速度与其含量成正 比，得到微分方程如下 （8） 其中 是常数，叫做衰变系数。 前的负号是指由于当 增加时M单调减少，即 的缘故。 由题易知，初始条件为 方程（8）是可以分离变量的，分离后得 两端积分 以 表示任意常数，因为 ，得 即 是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得 故得 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减