西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第十一章 无穷级数 11.4 函数展开成幂级数

第四节函数展开成幂级数 教学目的:了解如何将函数展开成幂级数 教学重点:幂级数收敛域的求法,函数展开成幂级数的充要条件。 教学难点:函数展开成幂级数的间接方法 教学内容 定理:设函数J(x)在点x的某一邻域U(x0)内只有各阶导数,则∫(x)在该邻域内 能展开成 Taylor级数的充分条件是f(x)的 av lor公式中的余项2(x)当n→0时的极 限为零 取x0=0时,称为函数J(x)的麦克劳林级数 函数展开成幂级数的方法 1.直接方法 (1)求∫(x)的各阶导数 (2)求f(")(0)(n=1,2…) (3)写出幂级数 且求出R (4)考察余项2(x)是否趋于零?如趋于零,则∫(x)在(一R,B内的幂级数展开 式为 f(x)=f(0+f(0x+00x2+ (-R<x<R) 2 例如,可用此法分别求出ex和sinx的展开式 e2=1+x+ (-0<x<+0) X (2n-1) 间接方法:利用幂级数可以逐项求导,逐项积分进行 cosx=(inx)=1-2++…+(-12-+…(-c<x<+) 例如 注:必须熟记五个函数的幂级数展开式:e2,sinx,Cosx,mn(1+x,(1+x) 例3将函数(x) x2+4x+3展开成(x-1)的幂级数 解因为 f(x) x2+4x+3(x+1(x+3)2(1+x)2(3+x) 4(1+ 4

第四节 函数展开成幂级数 教学目的：了解如何将函数展开成幂级数 教学重点：幂级数收敛域的求法，函数展开成幂级数的充要条件。 教学难点：函数展开成幂级数的间接方法 教学内容： 定理：设函数 在点 的某一邻域 内只有各阶导数，则 在该邻域内 能展开成Taylor级数的充分条件是 的Taylor公式中的余项 当 时的极 限为零。 取 时，称为函数 的麦克劳林级数 函数展开成幂级数的方法 1．直接方法： （1）求 的各阶导数 （2）求 （3）写出幂级数 ，且求出 （4）考察余项 是否趋于零？如趋于零，则 在 内的幂级数展开 式为 例如， 可用此法分别求出 和 的展开式： 2．间接方法：利用幂级数可以逐项求导，逐项积分进行 例如，  注:必须熟记五个函数的幂级数展开式： 例3 将函数 展开成（x-1）的幂级数 解 因为           而 ， （ ）

(-1) (-3<x<5) 所以 小:x2+4=E-1)2(xx-)(x-1 f(x) (-1<x<3) 幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间 绝对收敛,且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得 到了一种函数的无限形式的表达式(即幂级数展开式),将函数展为 幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义 个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点0出的各阶导数,这是 Taylor级数的优点。但从另一方面看,这又是它的缺点,因为求任意 阶导数并不容易,而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到 若想取级数的前项和作为函数的近似值,则在离开展开点稍远一点的 地方,取非常大才能使误差在所要求的限度内

（ ） 所以 ，   （ ） 小结： 幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间 绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得 到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为 幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义。 一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点 出的各阶导数，这是 Taylor级数的优点。但从另一方面看，这又是它的缺点，因为求任意 阶导数并不容易，而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到， 若想取级数的前项和作为函数的近似值，则在离开展开点稍远一点的 地方，取非常大才能使误差在所要求的限度内