西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）2.1 导数概念

第2章 §2.1导数的概念 燕列雅权豫西王兰芳李琪

§ 2.1 导数的概念 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第2章

、问题的引入 二、导数的定义 三、左导数与右导数 四、函数可导与连续的关系

一、问题的引入 二、导数的定义 四、函数可导与连续的关系 三、左导数与右导数

一、问题的引入 1.瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为 S=f() 则到t的平均速度为 f()-f(0) 自由落体运动 t-t 2 s=2g 而在l0时刻的瞬时速度为 =m(-f(0);()(s

一、 问题的引入 1. 瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为 s = f (t) 0 t 则 t 0 到 t 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 2 2 1 s = gt s o ( )0 f t f (t) t 自由落体运动

2.切线问题 曲线C:y=f(x)在M点处的切线y=(x) 割线MN的极限位置MT 当→时 切线MT的斜率 Xo x C k= tana= lim tan 9→> 割线MN的斜率n=x f(x)-f( k= lim f(x)f(xo) x>x X-x 0

x y o y = f (x) C 2. 切线问题 曲线 C : y = f (x)   N T 0 x M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T. (当  → 时) 割线 M N 的斜率 tan = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率 k = tan    lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x

瞬时速度y=lim f(t)-f(0)f 1->10t y=f(x 切线斜率k=lm f(x)-f(o) T x→>x0x=x0 两个问题的共性: Xox x C⑨ 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有: 加速度是速度增量与时间增量之比的极限花 竞选问题:是支持竞选者的人数与时间增量 买 之比的极限 题

两个问题的共性: s o 0 t ( )0 f t f (t) 瞬时速度 t lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 切线斜率 lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度: 竞选问题: 是速度增量与时间增量之比的极限 是支持竞选者的人数与时间增量 之比的极限 变 化 率 问 题  x y o y = f (x) C   N T 0 x M x

二、导数的定义 定义1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义, t lim /(20+ Ax)-/(o)- lim Ay Ay=/(xo+Ax)-/(xo △x→>0 △x △x→>0△x △x 存在,则称函数f(x)在点x处可导,并称此极限为 y=f(x)在点x的导数记作: d ylx=xo f (o), dr/=Xo df(x) dx x=xo 即f"(x0)=moAx lim f(x-f(xo)=lim/(xo+h)-1(xo) x→)x X-x h→>0 h

二、导数的定义 定义1 设函数 y = f (x) 在点 0 x 0 lim  →x 0 0 f x x f x ( ) ( ) x   + − x y x   =  →0 lim 0 0   y f x x f x = + − ( ) ( )  = − x x x0 存在, f (x) 并称此极限为 y = f (x) 记作: ; 0 x x y =  ( ) ; 0 f  x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 即 0 f x ( ) 0 lim x y  → x  =  h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − = → 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x 处可导, 在点 0 x 的导数. 0 lim x x → = 0 0 f x f x ( ) ( ) x x − −

运动质点的位置函数s=f(t) 在1时刻的瞬时速度 f(to =mO)=()=r(o t→>to t-t 曲线C:y=f(x)在M点处的切线斜率 k= lim f(x)-f(ro y=f(x)∥ x->x0 X- T f(o) o X 注:在经济学中,边际成本率, C 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数

运动质点的位置函数 s = f (t) s o 0 t ( )0 f t f (t) 在 时刻的瞬时速度 t 0 t lim 0 t t v → = ( ) ( )0 f t − f t 0 t −t 曲线 C : y = f (x) 在 M 点处的切线斜率 lim 0 x x k → = ( ) ( )0 f x − f x 0 x − x ( ) 0 = f  t ( ) 0 = f  x 注: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. x y o y = f (x) C   N T 0 x M x

lin f(x)-f(ol= lim AyAy=f(x)-f(o) X-x △x→>0△x △x=x-x0 若上述极限不存在,就说函数在点x不可导 若im=∞,也称f(x)在x0的导数为无穷大 △x→>0△x 若函数在开区间内每点都可导,就称函数在I内可导 此时导数值构成的新函数称为导函数,简称导数 记作:y:fx;:dy,d(x) dx 注意:f(x)=f(x)x=0≠ df(xo) dx

0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x   =  →0 lim ( ) ( )0 y = f x − f x 0  x = x − x 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 0 x 若 lim , 0 =     → x y x 也称 f (x) 在 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数, 简称导数. 记作: y ; f (x) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( )0 f  x 0 ( ) x x f x = =  x f x d d ( ) 0  就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大

例1.求函数f(x)=C(C为常数)的导数 RE y= lim f(x+Ax)-y(=lim C-C 0 △x→>0 △x △x→>0△x 即y=0 例证明函数f(x)=x在x=0不可导 证f(0+b)-f(0)=h∫1,h>0 h h 1,h0 h 不存在, f(x)=x y 即f(x)=x在x=0处不可导 X

例2. 证明函数 f (x) = x 在 x = 0 不可导. 证 h f (0 + h) − f (0)  h h =    = 1, h  0 −1, h  0 h f h f h (0 ) (0) lim 0 + −  → 不存在 , 例1. 求函数 f (x) = C (C 为常数) 的导数. 解 y  x C C x  − =  →0 lim = 0 即 (C ) = 0 x f x x f x  ( +  ) − ( ) 0 lim  → = x 在x =0处不可导. x y o f x x ( ) = 即 f x x ( ) =

三、左导数与右导数 定义2设函数y=f(x在点x的某个右(左)邻域内 有定义,若极限 lim ay_ lir f(x0+△x)-f(x0) △x→>0+△x△x→>0 △x x (△x→>0)(△x→>0) 存在则称此极限值为f(x)在x处的右(左)导数记作 f(x0)((x0) 即f(x0)=1im f(x0+△x)-f(x0) △x→>0 △x y=x 例如,f(x)=x在x=0处有 f(0)=+1,f(0)=-1

在点 0 x 的某个右 邻域内 三、 左导数与右导数 y = f (x) 若极限 x f x x f x x y x x  +  − =   + → +  →  ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 则称此极限值为 f (x) 在 处的右 导数, 0 x 记作 ( ) 0 f x +  即 f+ (x0 ) = x f x x f x x  +  − → +  ( ) ( ) lim 0 0 0 (左) (左) ( 0 ) → −  x ( 0 ) → −  x ( ( )) 0 f x −  − − 0 x 例如, f (x) = x 在 x = 0 处有 (0) = +1, + f f− (0) = −1 x y o y = x 定义2 设函数 有定义, 存在