西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）3.6 函数图形的描绘

第3章 §3.6函数图形的描绘 燕列雅权豫西王兰芳李琪

§3.6 函数图形的描绘 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第3章

函数图形的描绘 1.曲线的渐近线 定义若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点 时,点M与某一直线L的距离趋于0,则称直线L为 曲线C的渐近线 y=fo 或为“纵坐标差”C kx+b 例如,双曲线 x A b O X 有渐近线±y=0 y a b 但抛物线y=x2无渐近线

2 y = x 无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 1. 曲线的渐近线 定义 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 1 2 2 2 2 − = b y a x 有渐近线  = 0 b y a x 但抛物线 或为“纵坐标差” N L y = k x +b M x y o C y = f (x) P x y o 函数图形的描绘

水平与铅直渐近线 若lmf(x)=b,则曲线y=f(x)有水平渐近线y=b xX→)+0 (或x→>-∞) 若limf(x)=∞,则曲线y=f(x)有垂直渐近线x=x0 x→x (或x→>x0) 例1求曲线= +2的渐近线. 解 lim(,+2)=2 x)00x-1 y=2为水平渐近线; in(+2)=∞,x=1为垂直渐近线 x-1x-1

水平与铅直渐近线 若 lim f (x) b, x = →+ 则曲线 y f x = ( ) 有水平渐近线 y = b. (或x → −) 若 lim ( ) , 0 =  → + f x x x 则曲线 y = f (x) 有垂直渐近线 . 0 x = x ( ) 0 → − 或x x 例1 求曲线 2 1 1 + − = x y 的渐近线 . 解 2) 2 1 1 lim ( + = x→ x −   y = 2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1 + =  x→ x −   x =1为垂直渐近线. 2 1

2.函数图形的描绘 步骤: 1)确定函数y=f(x)的定义域,并考察其对称性及周 期性; 2)求f(x),f"(x),并求出f(x)及f(x)为0和不存在 的点; 3)列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点; 4)求渐近线; 5)确定某些特殊点,描绘函数图形

2. 函数图形的描绘 步骤 : 1) 确定函数 y = f (x) 的定义域 , 期性 ; 2) 求 f (x), f (x), 并求出 f (x) 及 f (x) 3) 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4) 求渐近线 ; 5) 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周

例2描绘y=3x2-x2+2的图形 解1)定义域为(∞,+∞),无对称性及周期性 2)y=x2-2x,y=2x-2 令y=0,得x=0,2 令y"=0,得x=1 b23 3)x(-∞。,0)0(0,1)1 2)12(22+∞) 0+ yyyxy 2 043 + 2 4x|-13(被大)(拐点 (极小 2

例2 描绘 2 3 2 3 1 y = x − x + 的图形. 解 1) 定义域为 (−,+ ), 无对称性及周期性. 2) 2 , 2 y  = x − x y  = 2x − 2, 令 y  = 0, 得x = 0, 2 令 y  = 0, 得x =1 3) x y  y  y (−,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+ ) + 0 − − 0 + − − + + 2 3 4 (极大) (拐点) 3 2 (极小) 4) x y −1 3 3 2 2 0 −1 0 1 2 3

例3描绘函数12 Q2e的图形 解1)定义域为(-∞,+∞),图形对称于y轴 2)求关键点 2 2 y=-、2兀 xe y e 2丌 令y=0得x=0;令y=0得x=±1 x0(0,1)1(,+∞ 3)判别曲线形态 y'o y 0 y 2丌 2丌e (极大) (拐点)

例3 描绘函数 2 1 y = 2 2 x e − 的图形. 解 1) 定义域为 (−,+ ), 图形对称于 y 轴. 2) 求关键点 y  = 2 1 − , 2 2 x x e − y  = 2 1 − 2 2 x e − (1 ) 2 − x 令 y  = 0得 x = 0; 令 y  = 0得x = 1 − − − + 2 1 0 0 2 e 1 x y  y  y 0 (0, 1) 1 (1, + ) 3) 判别曲线形态 (极大) (拐点)

x0(0,1)1(,+∝ y'0 y y 2丌 ne (极大) (拐点) 4)求渐近线 lim y=0 2 x→00 y=0为水平渐近线 B 5)作图

lim = 0 → y x  y = 0 为水平渐近线 5) 作图 4) 求渐近线 2 2 2 1 x y e − =  x y o A B 2 1 − − − + 2 1 0 0 2 e 1 x y  y  y 0 (0, 1) 1 (1, + ) (极大) (拐点)

内容小结 1.曲线渐近线的求法 水平渐近线;垂直渐近线; 2.函数图形的描绘按作图步骤进行 思考与练习 1+e 1.曲线y=1+e2 提示:1-e 2(D) 1+e Im e x->0 e (4)没有渐近线;(B)仅有水平渐近线; (C)仅有铅直渐近线; (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

水平渐近线 ; 垂直渐近线; 内容小结 1. 曲线渐近线的求法 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行 思考与练习 1. 曲线 ( ) 1 1 2 2 x x e e y − − − + = (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. D 提示: 1; 1 1 lim 2 2 = − + − − → x x x e e =  − + − − → 2 2 1 1 lim 0 x x x e e